物理のための数学

目次

• 目的
• 変化量
• 平均変化率
• 比例と反比例

目的

観測によって得られる物理的意味を持った量を物理量と言います。

物理現象を解析するとき、物理量の変化を客観的に知りたいときがあります。
そこで、量の変化を表す方法である、変化量、平均変化率、比例と正比例を今から解説します。

変化量

ある量が変化したとき、量がどれだけ変化したかをあらわすものを変化量と呼びます。

ある量の変化量は、次のように定義します。
（●の変化量）＝（●の変化後の量）－（●の変化前の量）

（●の変化量）＝Δ●←Δはデルタと呼ぶ
と書くことにすれば、

Δ●＝（●の変化後の量）－（●の変化前の量）　-(*)←変化量の定義
となります。

この定義は日常生活でもよく使われています。
たとえば、
体重が50Kgから65Kgに太ったとき、
体重の変化量は、(*)より、
Δ（体重）＝（体重の変化後の量）－（体重の変化前の量）
＝（65Kg）－（50Kg）
＝+15Kg
となるので、体重の変化量は+15Kgと求まります。

物理への応用として次の問題を解いてください。

平均変化率

「変化量」で体重の変化の例をあげました。
では、次のような体重の変化に違いはあるのでしょうか。

（１）１年で50Kgから65Kgになった。
（２）半年で50Kgから65Kgになった。

この二つは、どちらも体重の変化量は+15Kgですが、体重が変化した時間（時刻の変化量）が違います。
（１）では時刻の変化量は１年、（２）では時刻の変化量は半年です。
つまり、時刻の変化量に対して体重の変化量が違う、と言うことです。
（（２）は半年で15Kg太ったのだから、（１）と同じ１年であれば30Kg太ることになりますよね）
この違いは、時刻の変化量が関係しているので体重の変化量だけでは表現できません。

そこで、２つの量の変化量が関係しているときの変化を表すものとして、平均変化率を定義します。
（▲に対する●の平均変化率）＝（●の変化量）／（▲の変化量）
⇔（▲に対する●の平均変化率）＝Δ●／Δ▲　-(**)

平均変化率の定義を使えば、
（時刻の変化量に対する体重の平均変化率）＝（体重の変化量）／（時刻の変化量）
⇔（時刻の変化量に対する体重の平均変化率）＝Δ（体重）／Δ（時刻）
となるので、

（（１）の時間に対する体重の平均変化率）
＝（+15Kg）／（１年）
＝+15kg/年

（（２）の時間に対する体重の平均変化率）
＝（+15Kg）／（0.5年）
＝+30kg/年

この結果から、同じ時間であれば（２）のほうが体重の変化が大きいことが分かる。

物理への応用として次の問題を解いてください。

比例と反比例

２つの量の変化が関係しているときの変化の関係を表すものとして、比例と反比例があります。

・比例
ある量●がa倍になった時、別の量▲もa倍になることを、●は▲に比例すると言い、
●＝k▲　（kは定数）
が成立する。

・反比例
ある量●がa倍になった時、別の量■が1/a倍になることを●は■に反比例すると言い、
●＝k'／■　（k'は定数）
が成立する。

物理への応用として次の問題を解いてください。

投稿者 猫背の狸 、更新日 2006年12月30日

目次

• 目標
• 微積のポイント
• 微分の考え方
• Δとｄの違い
• 積分の考え方
• 微積を使って物理を見る（初心者向け）
• 微積を使って問題を解く（上級者向け）
• 参考文献

目標

微積は物理を定量的（→現象を量で表す）に理解する道具です。

単純な現象のときは、量の変化も単純なので量の変化を表す（微積の準備）で紹介した変化量、平均変化率だけで処理できます。
しかし、複雑な現象になると、微積を使わないと正しく量の変化を表すことができません。

このため、物理を厳密に理解するためには微積が必要不可欠だと言えます。
しかし、微積に慣れていない普通の高校生にとって、微積をどうやって物理に使うのかよくわからないと思います｡

そこで、微積にあまり慣れていない人を対象に、物理の世界を理解するのに役立つ直観的な微積の考え方を解説します。
最後のほうで少し微積を使って物理の問題を解くための計算方法についても紹介します。

微積のポイント

微積の考え方の一番重要なポイントをまとめます。
微積の意味がわからない人にはピンと来ないかもしれませんがとりあえず頭に入れてください。

微積とは、微小区間（無限に細かい区間）で考えること。

微小区間では、
　・関数の「変数」を「定数」
　・図形の「曲線」を「直線」
と近似できる。

これが微積の考え方のエッセンスです。
これから微分の考え方と積分の考え方について詳しく解説していきます。

微分の考え方

微分とは、ある点での変化率、曲線の接線の傾き（直接計算できない）を
平均変化率、直線の傾き（直接計算できる）とみなすことです[表２]。

微分の考え方が物理に使われていることを、物理量：瞬間の速さを定義することを通して考えていきます｡

まず、中学生のときに学んだ速さの定義を確認しましょう。
速さの定義（中学生版）：
（時刻t から時刻t＋⊿t までの間の速さ）
＝（位置の変化量）／（時間の変化量）
文字式で書くと、v ＝ Δr／Δt　-(*)
となります。

位置の変化量と時間の変化量がわかれば、この定義式により時刻tから時刻t＋⊿tまでの間の速さを求めることができます。

では、瞬間の速さの定義もこの定義(*)を使えばよいのでしょうか？

ちょっと考えてみると、この定義式(*)を瞬間の速さの定義とするには無理があるのに気づきます。

たとえば、10ｋｍを2時間（時刻t から時刻t+2 の間）で走ったとしたら、
速さの定義式(*)により、速さ＝5Km／hと求まります。

しかし、2時間走っていて、全ての瞬間で速さが5Km／hとは限らないのではないでしょうか？
ある時刻では休んでいたり、また別の時刻では普段より速く走っているかもしれません。

つまり、(*)の速さの定義式は2時間走ったときの平均の速さを意味していて、走っている間の すべての瞬間の速さを表してはいないのです。

一般的に言い直すと、(*)の速さの定義は時刻t から時刻t＋⊿t までの間の時間⊿tの平均の速さであり、時間⊿tの間の全ての時刻での瞬間の速さを表わしてはいない、ということです。

では、このとき瞬間の速さ、たとえば時刻t での瞬間の速さを定義するにはどうすればよいのでしょうか？

上の例で時刻tでの瞬間の速さを求める事ができなかったのは、
速さを測定する時間が⊿t＝2時間と長かったため、時刻tでの瞬間の速さから値のずれが大きくなってしまったためと考えられます。
逆に考えれば、速さを測定する時間を小さくすれば瞬間の速さからの値のずれが小さくなり、瞬間の速さに近づくのではないでしょうか。

そこで、瞬間の速さを、平均の速さの定義で測定時間⊿tを限りなく小さくにしたものと定義します。

式で書くと、
瞬間の速さの定義：
瞬間の速さv ＝ lim_Δt→0 Δr／Δt ＝ dr／dt　-(*')
となります。

これはある点での変化率は微小区間の平均変化率に一致するという微分の考え方です。

ここまでは瞬間の速さを関数的に考えてきました。
ここからは図形的意味を考えます。

まず準備として、平均の速さΔr／Δtの図形的意味を考えてみましょう。

rとtの関数が[図１]のようになっているとき、平均の速さ：Δr／Δtは点A（時刻t）と点B（時刻t＋Δt）を通る直線の傾きを表します。

特に、速さが一定のときは、
v＝Δr／Δt (=一定)に(t₀,r₀)と(t,r)を代入して、
v＝(r-r₀)／(t-t₀)
⇒ r＝v(t-t₀) + r₀
となり、rとtの関数は直線になるので、
（rとtの関数の直線の傾き）＝（直線ABの傾き）＝（速さ）
となります。[図１']
（速さが一定のとき、Δｒ／Δｔは物理的意味を持つ）

ここから瞬間の速さの図形的意味を考えていきます。
瞬間の速さを求めるために測定時間Δtを0に近づけると、
[図２]のように点ＢはB0→B1→B2→・・・→Bn→・・・と点Aに近づいて行き、最終的に点Aと点Bはほとんど同じ点になります[図２]。

このとき、点Aの付近を見てみると、点Aと点Bの間隔が微小になっているため、
rとtの関数の曲線は点AB間で直線に近似でき直線ABと一致しています[図３]。
これは[図１']の状況と同じですよね。
ですから、このときの直線の傾きは瞬間の速さを表しています。

[図３] は点A付近を非常に拡大して見ているので、点Aと点Bは離れているように見えます。
しかし、普通の世界では点Aと点Bはほとんど一致しているので、直線ABは点Aでの接線です。

以上より、瞬間の速さv ＝ lim_Δt→0 Δr／Δt ＝ dr／dt　-(*')の図形的意味は、
r-tグラフの接戦の傾きであると分かりました。

これはある点での接線の傾きは微小区間の直線の傾きに一致するという微分の考え方です。

Δとdの違い

Δ●とd●はどちらも●の変化量を表しています。

Δとdの違いは変化量の大きさにより決まります。

変化量が数値で表せるぐらい大きいときは、Δ●と書き、
変化量が数値で表せないくらい微小なときは、d●と書きます[図４]。

図形的には、Δが測定できる幅を持っているのに対して、
dは幅が測定できないくらい微小で私たちにとって点にしか見えない。

Δとｄの違いをふまえれば、
次の２つの運動方程式
m(d²r/(dt)²)＝F -(*) と m（Δ²r/(Δt)²)＝F -(**)
の違いが見えてきます。

(*)は、私たちには感じられないくらい微小な時間の変化の間（時刻tからt+dt）の運動方程式なので、ある瞬間(時刻t)の運動方程式とみなすことができます。

一方(**)は、時間の変化量がΔtなので、この式は瞬間ではなく一定の時間の間(時刻tからt+Δtの間)での運動方程式を平均したものと考えられます。[図５]

積分の考え方

変数、曲線を無限個の微小な区間に分け、
変数に依存する変化量、曲線で囲まれた図形の面積・体積（直接計算できない）を、
変数に依存しない変化量、直線で囲まれた図形の面積・体積（直接計算できる）の集まり
としてとらえるのが積分です[表３]。

[表３] 積分の考え方

積分の考え方が物理に使われていることを、物理量：移動距離を求めることを通して考えていきます｡

まずは、中学で習う方法で考えて見ます。
速さの定義（中学版）・平均の速さ(*)は
Δr ＝ vΔt　-(**)
と変形できます。

この式により、速さと時刻の変化量がわかれば移動距離を求めることができます。

たとえば、つねに時速5Km/hで2時間走ったとき、移動距離は(**)より10Kmと求めることができます。

しかし、この式には問題があります。
速さが時刻により変わるとき、どの時刻の速さを代入すればいいのでしょうか？

(**)は平均の速さの式を変形したものなので、ここに代入できるのは一定の速さ（平均の速さは一定）だけなのです。

では、一般的に移動距離（時刻tからt+Δtの間移動したとする）を求めるにはどうすればよいのでしょうか？

(**)の式を使って移動距離を求めることができないのは、時間が経過するとともに速さが一定ではなくなるためです。

この問題は、移動時間を無限小な時間に分け、微小な時間ごとに移動距離を求めることによって解決できます。

なぜなら、無限小な時間では速さは瞬間の速さとなり定数とみなせる（ある一瞬の速さだから値は変わらない）からです。
瞬間の速さは定数だから、平均の速さの式(**)から微小時間の間の移動距離を求める事ができます。
それを時刻tからt＋⊿t までたし合わせれば全体の移動距離になります。

式で書くと、
速度が一定でないときも含む移動距離の定義：
微小時間dtの間の移動距離dr＝ vdt　（瞬間の速さの定義より）
時間⊿t の間の移動距離Δr ＝ ∫dr （区間：r(t₀)→r(t₀+⊿t)） ＝ ∫vdt （区間：t₀→t₀+⊿t）　-(***)
となります。

これはある区間で変数に依存する変化量を、
区間を微小区間に分けて考えることにより、
変数に依存しない変化量の集まりとみなす
という積分の考え方です。

ここまでは移動距離を関数的に考えてきました。
ここからは図形的意味を考えます。

瞬間の速さのときはr-tグラフを書きましたが、移動距離ではv-tグラフを書きます。
vとtの関数は[図６]にあるように時刻とともに増加していくケースを考えます。

先ほど、Δr ＝ vΔt　-(**) は速度一定のときにしか使えないと解説しました。
このことを図形的に確認してみましょう。

(**)に点A(時刻t₀)のときの速さv₀を代入すると、
Δr ＝ v₀Δt となります。
これは[図６]の青色の四角形の斜線部分の面積ですが、速さが変わるときの移動量距離を表していないことは明らかです。

特に、速さが一定のときは、
移動距離Δr ＝ ｖΔt (v=一定)
⇒ Δr ＝ vΔt（直線）となり、これは[図６']の斜線部分の面積（vとtの直線とt軸を含む四角形の面積）なるので、
（vとtの関数の直線とt軸を含む四角形の面積）＝（時間Δtの間の移動距離）-(☆☆)
となります。
（速さが一定のとき、ｖΔｔは物理的意味を持つ）

ここから速度が一定でないときの移動距離の図形的意味を考えていきます。

移動距離を求めるとき、微小時間ごとに移動距離を求めます。
[図７]のように、微小時間dtを取ると、時刻tの付近ではvとｔの関数は斜めの直線に近似することができます。

このとき、dr ＝ vdt　-(**')は、青色の四角形の面積を表します。

青色の四角形と赤色の三角形を含む台形の面積が等しいということは、
微小な面積を考えるとき、微小区間dtでvはほとんど一定とみなしてよいということです。
つまり、先ほどvとｔの関数は斜めの直線に近似と言いましたが、実際にはほとんど傾きが0の直線に近似されるのです。
これは[図６']の状況と同じなので、vdtの物理的意味は微小時間dtの間の移動距離といえます[図７]。

これより、時間⊿t の間の移動距離Δrの図形的意味が分かります。
定義より、
Δr ＝ ∫dr （区間：r(t₀)→r(t₀+⊿t)）
＝ ∫vdt （区間：t₀→t₀+⊿t）　-(***)
と表されます。
vdtは微小時間の移動距離であり、v-tグラフにおいて微小な四角形の面積を表しているので、
∫vdt （区間：t₀→t₀+⊿t）の図形的意味はvとtの関数とt軸で囲まれる部分の面積と分かりました[図８]。

このように、微小区間に注目して、
まず微小変化量を求め、
それを足し合わせて全体の変化量を求めることを、
数学の言葉で積分といいます。

微積を使って物理を見る（初心者向け）

今までやってきたことをポイントにまとめます。
今までの話がよくわからなかった人もとりあえずここだけは押さえておきましょう。

微積の計算を具体的にしない場合でも、上のポイントは知っておくと、
微積で表わされている式から、グラフの接線の傾きや面積がどんな物理的意味を持っているかが分かります。

たとえば、高校の教科書には電流の定義式：I ＝ΔQ／Δtとあります。
電荷Qは時刻によって変わる可能性があるので、一般的にはI ＝dQ／dtと微分を使って表さなくてはいけないことはもうわかりますよね。

上のポイントをふまえれば、微分の意味から、

• ある瞬間の電気量Qの変化率
• Q-tグラフの接線の傾き

ということが分かります。

また、I ＝dQ／dt ⇔ 微小変化：dQ ＝Idtより、
全体の変化：ΔQ ＝ ∫dQ＝∫Idt（区間が与えられているとする）が求まります。
この式は積分の意味から、

• ある区間での電気量Qの変化量
• ある区間でのI-tグラフの面積

ということが分かります。

微積を使って問題を解く（上級者向け）

微積を使って力学の問題を解きます。
見慣れていないので複雑に見えると思いますが、高２で習うの微積と合成関数の微分を知っていれば理解できます。
数式を追うだけでなく、物理的意味を考えながら読んでみてください。

以下では、d●/dt=●'、d²●/dt²=●"と表す。
＜解答＞
(1)
図のように地面に平行な方向にx軸、垂直な方向にy軸を取る。

・運動方程式
　mx"(t)=-Nsinθ (1)
　my"(t)=Ncosθ-mg (2)
・初期条件
　x(0)=0,y(0)=0 (3)
　x'(0)=v₀cosθ,y'(0)=v₀sinθ (4)
・束縛条件
　tanθ=y(t)-y(0)/x(t)-x(0)（物体は常に斜面上にある） [t≠0]
　⇒y(t)=tanθx(t) (5) [t=0も含む]

目標：時刻tでの物体の位置(x(t),y(t))を求める。
(1)*cosθ+(2)*sinθよりNを消去：
mx"(t)cosθ+my"(t)sinθ=-mgsinθ
⇔x"(t)cosθ+y"(t)sinθ=-gsinθ (6)

(5)を２回時間微分する：
y"(t)=tanθx"(t) (7) ※d●/dt=●',d●'/dt=●"

(6),(7)よりy"(t)を消去：
x"(t)cosθ+tanθsinθx"(t)=-gsinθ
⇔x"(t)/cosθ = -gsinθ
∴x"(t)=-gsinθcosθ
また、(7)より、y"(t)=-g(sinθ)²

x"(t)=-gsinθcosθと初期条件(3),(4)より、
x'(t)=-gsinθcosθt+v₀cosθ
※∫d●=●+C(積分定数） 、初期条件よりC=v₀cosθが決まる
x(t)=-(1/2)gsinθcosθt²+v₀cosθt
※∫●+C d●=(1/2)●²+C●+D(積分定数） 、初期条件よりD=0が決まる

y"(t)=-g(sinθ)²と初期条件(3),(4)より、
y'(t)=-g(sinθ)²t+v₀sinθ
y(t)=-(1/2)g(sinθ)²t²+v₀sinθt

(2)
エネルギー保存則を求めます。

運動方程式の両辺に速度をかけると、
(1)*x'(t)+(2)*y'(t) ※仕事率dW/dt=F・V=Fx*Vx+Fy*Vy ：
mx"(t)x'(t) + my"(t)y'(t) =-Nsinθx'(t) +Ncosθy'(t) -mgy'(t)
⇔d/dt( (1/2)mx'(t)²+ (1/2)my'(t)² ) 　※d/dt(●²) = 2●●'
　 = N(-sinθx'(t) +cosθy'(t)) - mgy'(t)
さらに、(5)より-sinθx'(t) +cosθy'(t)=0 ,d/dt(y)=y'より、
⇔d/dt( (1/2)mx'(t)²+ (1/2)my'(t)² + mgy(t) ) = 0
この式は全ての時刻でエネルギーが一定であることをを表している。
つまり、エネルギー保存則を表す式である。

参考文献

• 図解雑学 微分・積分、図解雑学 わかる微分・積分
  ０から学ぶ入門書として最適
• 細野真宏の数IIIの微分積分が面白いほどわかる本（微分編）
  微分の意味について Section1微分の定義に解説があります。
• 細野真宏の微分積分(原則編)・軌跡が面白いほどわかる本
  積分の意味について、1.3.(1)体積の考え方（積分とは？）に解説があります。

投稿者 猫背の狸 、更新日 2007年08月03日

目次

1. 目標
2. ベクトルとは何か？
3. なぜベクトルを使うのか？
4. ベクトルの性質
5. ベクトルの座標化
6. まとめ

目標

ベクトルは物理の世界を理解するための道具として大切なものです。
しかし、物理の初心者は、数学としてはベクトルを知っているけれど、物理にベクトルを適用することができないことが多いのです（微積についても同じことが言えます）。これでは物理の体系を効率的に理解することができません。

そこで、この記事では数学にでるベクトルの問題を解くための解説ではなく、どうして、どうやって物理にベクトルを使うのかの解説をします。

ベクトルとは何か？

物理では、物理量（測定により得られる量）を表すために、数学の言葉で言う、スカラーとベクトルを使います。
ここでは、スカラーとベクトルの定義をし、ベクトルの表し方、スカラーとベクトルの違いについて説明します。

● スカラーとベクトルの定義
スカラーとベクトルは次のように定義されています。

• 大きさのみを表すものをスカラー
• 大きさ＋向きを表すものをベクトル

● ベクトルの表し方
ベクトルは[図１]のように、

• 矢印の長さ=大きさ
• 矢印の先の向き＝向き

として表される。

● スカラーとベクトルの違い
スカラーとベクトルの違いは、スカラーは向きを示すことができないのに対して、ベクトルは向きを示すことができることです。
この違いを理解していないと、物理量を正確に表すことができなくなります。

なぜベクトルを使うのか？

スカラーとベクトルの違いについては「ベクトルとは何か？」で紹介しました。
では、なぜベクトルを使わなくてはならない場合があるのでしょうか？
次の例題を考えてみてください。

<解答>
まず、条件が何を表しているかを考えます。
１は大きさ（距離）についての情報
２は向きについての情報

このことをふまえて、スカラーの場合、ベクトルの場合をそれぞれ考えて行きましょう。

スカラーで考える
スカラーは大きさのみを表すので、１の情報しか使うことができない。
１より、ＢはＡを中心として半径5Kmの円上のどこかにある[図２]。
（２の情報が使えないのでこれ以上Ｂの位置はわからない）

このように、スカラーで考えると、Ｂの位置を完全に確定することができない。
→位置を表すのにスカラーは不適である！

ベクトルで考える
ベクトルは大きさ+向きを表すので、１と２の両方の情報を使うことができる。

まず１より、Ａを中心とした半径5Kmの円上にＢが位置していると考える事ができる[図２]（ここはスカラーと同じ）。

次に２より、ＢはＡからみて北東の向きにあることから[図３]の矢印上のどこかにＢが位置していると考えることができる。

よって、[図２]と[図３]をあわせて考えれば、
Ｂは[図２]の円と[図３]の矢印の交点として求まる[図４]。

このようにベクトルで考えるとＢの位置を正確に定めることができるわけです。つまり、位置を表すのにベクトルは適しているのです。

例題の結果を考えれば、
位置を示すときにはベクトルを使わないと正確に示す事ができないということが分かります。

物理では位置を含めてベクトルを使わないと正確に示すことができない物理量がいくつか存在します（だから物理ではベクトルが必要になる）
（例）位置、速度、加速度、力、・・・

c.f.ベクトルを使わなくても、つまりスカラーで正確に示すことができる物理量もいくつか存在している。
（例）質量、時間、・・・

物理が苦手な人は、ベクトルとスカラーの区別をしていない人が多いので、問題を解くとき物理量はベクトルで表すのか、スカラーで表すのかを意識するようにしましょう。これが物理を得意科目にする第一歩です。

ベクトルの性質

ベクトルの性質について確認します（詳しくは、自分の使っている数学の参考書で確認してください）。

ベクトルは、大きさと向きを使いどの向きにどれだけ移動したかを表します。ベクトルを表示するためには矢印が使われます。

例えば、[図５]の点Ａから点Ｂまでの移動量をと書いてベクトルＡＢと読み、出発する点Ａを「始点」、到着する点Ｂを「終点」といいます。

ベクトルは向きと大きさで決まる量なので、２つのベクトルとについて、
＝
となるのは、[図６]のように、移動量が同じ、つまり、向きと大きさが同じときに限ります。すなわち、２つの矢印が平行移動で重なるとき、この２つのベクトルは等しいというのです。

また、２つのベクトルとについて、
＝－
となるのは、[図７]のように、移動量が反対、つまり、向きが反対で大きさが同じときに限ります。すなわち、２つの矢印が平行移動で反対向きに重なるとき、この２つのベクトルの正負が逆になるのです。

さて、ここからはベクトルの合成、分解について説明します。

次の関係が成り立つのは明らかですよね[図８]。
（点Ａから点Ｂまでの移動量）＋（点Ｂから点Ｃまでの移動量）
＝（点Ａから点Ｃまでの移動量）

これをベクトルを使って書けば次のようになります。
＋＝ -(*)
これをベクトルの合成といいます。

一方、(*)を逆から見ると
＝＋ -(**)
これをベクトルの分解といいます。

このように、ベクトルでは、
２つ以上のベクトルを”つないで”１つのベクトルに合成
１つのベクトルを”わけて”２つ以上のベクトルに分解
することができるのです。

物理にベクトルを使うときに役に立つのは、１つのベクトルを”わけて”２つ以上のベクトルに分解できるという性質です。
この性質のおかげで、ベクトルを座標表示することができ、ベクトルを数式として処理する事ができるようになるのです。

ベクトルの座標化

ある点の位置はベクトルを使って[図９]のように図で表すことができます。

これを式で表すと と書くことできます。しかし、 は[図９]の矢印の代わりになっているだけで、ベクトルを含んだ計算を行うとき のままでは考えにくいのです。

だから、図であるベクトルを数式化し計算を行いやすくするために、座標を導入する必要があるのです。
→座標は図形問題を計算問題に変換する働きをする

ベクトルの座標表示の方法をPointにします。

上のPointをふまえて、[図９]の位置ベクトル（大きさはr）に座標を導入してみます。

位置ベクトルが直線上にあるとき、[図１０]のようにベクトルと同じ向きを正として座標を導入すると、下のようにベクトルを数式化できる。

位置ベクトルが直線上にあるとき、[図１１]のようにベクトルと逆の向きを正として座標を導入すると、（[図１０]のときと座標の正の向きが逆）下のようにベクトルを数式化できる。

位置ベクトルが平面上にあるとき、[図１２]のようにわざとθの角をなすように座標を導入すれば（座標は自由に取り入れる事ができる（普通は計算しやすいように座標を導入する））、下のようにベクトルを数式化できる。

（上のようにベクトルが分解できることは覚えておく！（理由は下の三角比の定義を見ればわかります））

このように、ベクトルを座標表示すれば、ベクトルは数式化され物理の問題に適用しやすくなるのです。

物理が苦手な人は、ベクトルで表される物理量を扱っているときに、スカラーとベクトルの区別ができていない（ベクトルとわかっていない）ので、ベクトルの座標表示をすることができないのです。

そのために、放物運動、鉛直投げ上げ、鉛直投げ下げ、自由落下などの落体の運動を解くときに、お互いを関連づけることができずしかも公式として暗記してしまうのです。位置、速度、加速度がベクトルであることをわかっていれば、ベクトルの座標表示を使えば公式として暗記する必要が無くなることがわかるはずです。

落体の運動を公式として暗記している人は、等加速度直線運動の式

に座標表示した初速度、加速度を代入すれば、公式を暗記しなくても導ける事を確認してみてください。

まとめ

• 物理量はベクトル（大きさ+向き）かスカラー（大きさのみ）で表される
• ベクトルとスカラーの区別をしないと物理量は正確に表すことができない
• ベクトルは座標表示して数式化して計算する

投稿者 猫背の狸 、更新日 2006年12月30日 | コメント (0)

物理で必要になる三角関数関係の公式をまとめました。
ここに出てくる公式、公式の導き方はすぐに使えるようにしましょう。
この程度は押さえていないと、参考書を読むのも大変だと思います。

●三角比の定義と定理

[図１]のような角度θ[°]をとる直角三角形において、

sinθ= a/c
cosθ= b/c
tanθ= a/b

と定義する。

また、定義から次の二つの定理が成り立つ。

tanθ= sinθ/cosθ
（証明）
tanθ=a/b
=(a/c)/(b/c) ←分母分子をcで割った
=sinθ/cosθ←sin,cosの定義を代入した

sin²θ+cos²θ=1
（証明）
sin²θ+cos²θ
=(a/c)²+(b/c)²=(a²+b²)/c²
ここで、三平方の定理より、
a²+b²=c²が成立するので、
sin²θ+cos²θ=1

●余弦定理

[図２]のような三角形において、

a²=b²+c²-2bc cosθ
が成立する。

●三角関数の定義と定理

[図３]のように半径１の円で(1,0)から逆時計回りに弧長θ[rad]をとったとき、
その円上の点のy座標をsinθ、x座標をcosθと定義する。

sinθ=y
cosθ=x

また、原点と点(x.y)を通る直線の傾きをtanθと定義する。

tanθ= y/x

また、定義から次の二つの定理が成り立つ。

tanθ= sinθ/cosθ
（証明）
tanθ=y/x←(0,0)と(x.y)を通る直線の傾き
=sinθ/cosθ←sin,cosの定義を代入した

sin²θ+cos²θ=1
（証明）
sin²θ+cos²θ
=x²+y²
ここで、(x,y)は半径１の単位円上の点なので、
x²+y²=1が成立する。
よって、
sin²θ+cos²θ=1

また、単位円を使えば、

sin(-θ)=-sinθ
cos(-θ)=cosθ
tan(-θ)=-tanθ

sin(π/2-θ)=cosθ
cos(π/2-θ)=sinθ

を得る。

これらの式は、単位円を使って左辺の値は+sinθ、-sinθ、+cosθ、-cosθのいずれに等しいかを考えれば求めることができる。

また、tanについては、tan=sin/cosから求めることができる。

●加法定理

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
また、tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)より、
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
（証明）
tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)
=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ-sinαsinβ)
=((sinα/cosα)+(sinβ/cosβ))/(1-(sinαsinβ)/(cosαcosβ))←分母分子をcosαcosβで割った（tanが出てくる形にしたいから）
ここで、tan=sin/cosを使えば、
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)となる。

また、
・β=-βとすれば、
sin(α-β),cos(α-β),tan(α-β)を得る。

・α=βとすれば、
二倍角の公式、半角の公式を得る。

・Ａ=α+β、Ｂ=α-β⇒α=(Ａ+Ｂ)/2、β=(Ａ-Ｂ)/2とすれば、
和・差の変形公式を得る。

●合成公式

a sinθ + b cosθ =√(a²+b²) sin(θ+φ) (tanφ=b/a)
ただし、φは[図5]を満たすφである。

投稿者 猫背の狸 、更新日 2006年12月30日