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束縛条件の求め方

物体はあらゆる値の位置、速度、加速度をとることができます。

しかし、何らかの制限を受けて位置、速度、加速度はとることができる値を制限される場合があります。
このときの物体の運動を束縛運動といい、その束縛運動を決める条件を束縛条件と呼びます。

高校物理の範囲の運動は、単純なものが多いので普段は束縛条件を意識することがありません。
しかし、束縛条件なしに束縛運動は解けないので、この機会に知っておきましょう。
入試問題で複雑な状況設定が出てきたときに役立ちます。

ここでは具体的な問題を通して束縛条件について考えて行きます。

＜問題＞ 図のように摩擦のない斜面上を動いている物体について、運動方程式を立てよ。物体の質量をm、重力加速度をgとする。

解答は、
斜面に水平方向：m a = mg sinθ
斜面に垂直方向：m 0 = N - mg cosθ⇔ N = mg cosθ（N：垂直抗力）
となります。

よくある設定なので解答を覚えてしまっている人もいるかもしれませんが、この解答に束縛条件が使われています。わかりますか？

上の解答では、本来任意の値を取ることができる加速度について、斜面に水平方向をa、斜面に垂直方向を0と勝手に決めてしまっています。
このように加速度のとることができる値を制限するものが束縛条件なのです。

では、束縛条件はどのように求めるのでしょうか。

求め方をPointにまとめます。

このPointにしたがって、＜問題＞の束縛条件を求めましょう。

まずStep1です。
問題文を見ると、斜面上を動いているとあります。
本来、物体は斜面上だけを動く以外に、斜面から飛んだりする可能性などもあるわけだから、これは物体の運動を制限している条件です。

次にStep2です。
斜面上を動いているのだから、軌道は斜面に沿ったものになります。それ以外の軌道は取りません。

最後はStep3です。
このStepは定性的に求める方法と、定量的に求める方法の２通りのやり方があります。ここでは両方の方法で求めます。

●定性的に考える
斜面に沿った軌道を取ると言うことは、物体は常に斜面上に位置していて、斜面に沿った方向にしか物体は移動しません。
よって、斜面に沿った方向以外の加速度、速度の成分はゼロになります。
なぜなら、もし加速度、速度がゼロでなければ物体が斜面に沿った方向以外に動いてしまうからです（※）。

※ある方向に加速度を持つ→その方向に速度を持つ→その方向に物体が移動する
この関係は、加速度＝⊿（速度）／⊿（時間）、速度＝⊿（位置）／⊿（時間）
をふまえれば明らかです。

よって、束縛条件は
・位置・・・斜面上
・速度・・・斜面に沿った方向以外の速度の成分はゼロ
・加速度・・・斜面に沿った方向以外の加速度の成分はゼロ
となります。

●定量的に考える
斜面に水平な方向をx軸、垂直な方向をy軸とします。
物体は斜面に沿った軌道を取るので、位置は
x=時間に依存する変数　←具体的な値は不明
y=0
と求まります。

つぎに、速度v= (v_x,v_y) =dr/dt = (dx/dt,dy/dt)より、速度は
v_x = dx/dt = d(時間に依存する変数)/dt = 時間に依存する変数 または 定数
v_y = dy/dt = d(0)/dt = 0

そして、加速度a= (a_x,a_y) =dv/dt = (dv_x/dt,dv_y/dt)より、加速度は
a_x = dv_x/dt = d(時間に依存する変数 または 定数)/dt = 時間に依存する変数 または 定数
a_y = dv_y/dt = d(0)/dt = 0
と求まります。

よって、束縛条件は
・位置・・・(x,0)
・速度・・・(v_x,0)
・加速度・・・(a_x,0)
（x,v_x,a_xの具体的な値は不明）
となります。

このように求めた束縛条件を、運動方程式に代入すれば上の解答のようになるわけです。

束縛条件は、当たり前すぎることなので普段は意識しませんが、これを求めずに運動方程式を解くことはできないので、キチンと求めることができるようにして下さい。

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投稿者 猫背の狸 、更新日 2006年12月30日