[大学への物理] [理系の掲示板]
[2582] 直流回路 投稿者:ble 投稿日:2002/02/20(Wed) 09:35:37

 コンデンサとオーム抵抗と電源が直列につながっていて、充電する問題ですがコンデンサに充電されるときの電圧は抵抗のことを考えなきゃいけないんですか?「スタンダード物理」には電圧降下があるっぽくかいてました。


[2582へのレス] Re: 直流回路 投稿者:phonon 投稿日:2002/02/20(Wed) 13:30:10

抵抗があると必ず電圧降下が起こります。エネルギーを抵抗で失うので。

どこの電位に注目しているのかよくわかりませんが、例えば抵抗とコンデンサの間の電位の時間変化に注目すると、過渡的な変化になります。この過渡的な変化に抵抗は(時定数として)関係します。


[2582へのレス] Re: 直流回路 投稿者:ble 投稿日:2002/02/20(Wed) 14:20:58

 最終的に電流は流れなくなるわけだから抵抗の前と後では電位が同じになってコンデンサには電池の起電力がそのままかかるのですか?


[2582へのレス] Re: 直流回路 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/21(Thu) 00:37:19

「最終的」にはそういうことになります。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2582へのレス] Re: 直流回路 投稿者:細田 隆之 投稿日:2002/02/22(Fri) 03:55:19

> 抵抗があると必ず電圧降下が起こります。
抵抗に電流が流れると抵抗の両端に電圧が発生します。(というか、それが直流抵抗の定義)

コンデンサ C の電圧 Vc 、抵抗を R とし、抵抗に印加する電圧を Vin すると、
Vc = (1/C)∫I dt
 I = (Vin - Vc) (1/R)
の微分方程式を解くと Vc の初期値が 0 の時
Vc = Vin(1-exp<sup>(-t/CR)</sup>)
になります。l


[2582へのレス] Re: 直流回路 投稿者:細田 隆之 投稿日:2002/02/22(Fri) 04:12:02

[訂正] tag が入らないので書きなおし

 Vc = Vin(1 - exp(-t/CR))

http://www.finetune.co.jp/~lyuka/


[2582へのレス] Re: 直流回路 投稿者:phonon 投稿日:2002/02/22(Fri) 14:59:22

>それが直流抵抗の定義

そうなんですか?
私の知る限り、集中定数理論の回路定数である抵抗の定義は
電流と電場に関するオームの法則(これは必ずしも成立はしない)においていくつかの仮定を導入したのち、(回路理論でみかけるオームの法則を得て)電流と電圧の間を結ぶ比例定数に対し「抵抗(resistance)」と定義すると思っていました。

細田さんのおっしゃる「直流抵抗」を抵抗(resistance)と解釈して上は書いています。


[2582へのレス] Re: 直流回路 投稿者:細田 隆之 投稿日:2002/02/22(Fri) 15:50:18

phonon さんのおっしゃるのでも抵抗の定義は良いです。
由来的には電流を流したときにその両端に電圧が発生して電流を妨げるので「抵抗」と呼ぶわけです。
ただし、「比例」しない場合も広義の抵抗ですし、dV/dI を抵抗とすることもあります。高周波の場合はまた扱いが変わります。


[2581] コイルの誘電起電力 投稿者:物理オンチ 投稿日:2002/02/20(Wed) 04:07:32

交流電源とコイルを直接つなぐと常に電源電圧=コイルの電圧ってなるのはわかりますがそれだと電流が流れることを説明できない気がします。誰か教えていただけませんか?


[2581へのレス] Re: コイルの誘電起電力 投稿者:phonon 投稿日:2002/02/20(Wed) 13:36:52

>電流が流れることを説明できない気がします。

説明できない気がする理由はなんですか?


[2581へのレス] Re: コイルの誘電起電力 投稿者: 投稿日:2002/02/20(Wed) 13:57:49

>常に電源電圧=コイルの電圧
これが、間違っている


[2581へのレス] Re: コイルの誘電起電力 投稿者: 投稿日:2002/02/20(Wed) 13:58:44

ようなきがする


[2581へのレス] Re: コイルの誘電起電力 投稿者: 投稿日:2002/02/20(Wed) 13:59:22

やっぱ、あっているような気がしてきた


[2581へのレス] Re: コイルの誘電起電力 投稿者:dawn 投稿日:2002/02/20(Wed) 14:19:42

コイルにかかる電圧≠誘導起電力で、
電源電圧>誘導起電力だから電流は流れます。
誘導起電力はあくまで電流の時間変化量に依存します。(あまり自信ないですが)


[2581へのレス] Re: コイルの誘電起電力 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/21(Thu) 00:31:34

抵抗を無視しているんですよね。
なら、「電源電圧=コイルの電圧」で「電流が流れる」のでしょう。コイル以外での電圧降下は0。

現実問題としてあり得るかどうかは知りませんが。
(超伝導物質でコイルと回路を作れば可能なんでしょうか?)

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2581へのレス] Re: コイルの誘電起電力 投稿者:phonon 投稿日:2002/02/21(Thu) 14:22:41

>抵抗を無視

ボード設計でコイルの抵抗をどう取り扱うのか知りませんが、ICだとnegligibleだとして大抵設計します。もちろん、どの程度の精度を求めるかにもよりますけど、コイル(=インダクタ)の寄生抵抗は2義的な要素です。まだ寄生容量の方が気になります。共振ポイントが変るので。


[2581へのレス] Re: コイルの誘電起電力 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/21(Thu) 16:07:07

↑*2 後半2行、撤回します。

量として無視できるってだけのことですから、厳密に0になる必要は無いですね。撤回します。

あと、寄生容量、寄生抵抗って何ですか?
(僕は高校生なので、そのレベルで解説お願いします。検索エンジン掛けたけど、よく分からなかった。)

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2581へのレス] Re: コイルの誘電起電力 投稿者:phonon 投稿日:2002/02/21(Thu) 16:52:11

申し訳ないです。

寄生〜 と呼ばれる量は、理想的な素子には付随していない量です。

「コイル」というとインダクタンスのみを持つ理想的な素子として考える事が多いのですが、現実には抵抗もあれば、容量もつきます。それらの抵抗や容量のことを、寄生抵抗、寄生容量といいます。これらは、素子の構造に依存して変ります。実際に物を作る時には、理想的な仮定を導入してしまうと、測定結果と理論に矛盾が生じることがあります。


[2581へのレス] Re: コイルの誘電起電力 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/21(Thu) 20:03:54

解説ありがとうございました。

抵抗があるのは、まあ当然なんですが、容量ってコンデンサーの容量とかの容量ですか?

まあ、それもありそうには思いますが・・・初めて聞いた話なので(多分、僕の知識が少ないだけだと思いますが(汗))。

他の点は理解しました。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2581へのレス] Re: コイルの誘電起電力 投稿者:phonon 投稿日:2002/02/22(Fri) 00:10:50

確かに高校の教科書には載ってないと思います。最近の大学の物理の教科書にもあまりのってないかもしれません(古い電磁気学の本には良く載ってます)。もし興味があれば、(大学に入ってからでも)分布定数回路理論(電磁気学の帰結)を勉強されると良いです。

例えば、理想的な無限に広い平板(導体)をイメージして下さい。2枚重ねると平行平板になりますよね。この平板のそれぞれに向きが反対の電流を流しましょう。そうすると、電荷が運動しているものですから面電荷が生じます。導体表面にはある電位が定義できるとすれば、2枚の導体間には電位差が生じます。ここに電荷量と電位差の比例係数として容量が定義できます。
#アプローチの方法は、導体間の電磁波を考えて議論するか、回路的に議論するかの2通りがあります。
#電流が同じ向きでも容量は生じるんですけど、気にしないで下さい。とにかく配線があればあっちこっちに容量がつくと思っていればまず間違いないです。同軸ケーブル(ご存知ですか?おそらく家に配線してあると思います。)のように信号線が電位の基準(V=0)となる導体で覆われてシールドしてあれば、電気力線が外へは抜けないので、信号線間の容量は気にしなくて良いです。

例えば、実際(特に高周波だと)電子回路(ボードやIC)でこれは問題になります。みなさん容量が付かないように設計は工夫するんですよ。容量がつくと、変位電流(ご存知ですか?)で信号が変なところに抜けてしまうので。
デジタルでも信号遅延の原因になるでしょう(私はデジタルは良く知りません)。何故なら、容量があるぶん、そこを電荷でチャージしながら信号が伝わりますから(チャージすることで配線の電位を上昇させます)。イメージとしては、バケツ(容量)と水(電流)の話でできます。空のバケツが一列にたくさんならんでいて、(水がすべてのバケツを通過できるように)バケツは適当な方法でつながっているとします。スタートのバケツから水を供給していくとバケツは水をため、一杯になると次のバケツへ水を送ります。そうすると水がゴールのバケツにたどり着くまで、(バケツ無しでまっすぐな水路がある場合に比べて)時間がかかってしまいますよね(すなわち遅延)。


[2581へのレス] Re: コイルの誘電起電力 投稿者:細田 隆之 投稿日:2002/02/22(Fri) 03:45:17

>みなさん容量が付かないように設計は工夫するんですよ
というか、寄生容量(つまり集中定数の部品ではない部分で発生している容量)を込みで設計します。電磁界解析の力を借りることもありますよ。

>変位電流(ご存知ですか?)
マクスウェル(J.C.Maxwell)の言うところの変位電流(Displacement current)なら知ってますが、ここでは意味合いが違いませんか?単なる容量結合で良いと思います。


[2581へのレス] Re: コイルの誘電起電力 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/22(Fri) 11:17:08

解説ありがとうございました。

多分、理解したと思うのですが、

>変位電流
僕も、マクスウェルの方程式の変位電流しか知らないのですが、あれは真の電荷の移動ではないですから、ちょっと混乱しました。

結局、この容量は、コンデンサーで言うような容量、つまり、電圧を掛けると電荷がたまる、という解釈でいいんですよね。念のため確認させていただきます。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2581へのレス] Re: コイルの誘電起電力 投稿者:phonon 投稿日:2002/02/22(Fri) 14:38:17

細田さん

こんにちは。レスありがとうございます。

>寄生容量を込みで設計します。

もちろんです。ですが、高周波使用のICを設計する時など、できるだけ容量がつかないようにレイアウトするんです(私は少なくともそうします)。しないとパフォーマンスが落ちる事がありますし、それを補正するため余計なレイアウト面積を食ったりしますから。

>集中定数の部品ではない部分で発生している容量

細かいことを書くようですが、部品を集中定数として扱うか分布定数として扱うかは周波数帯域と関係していて、集中定数の部品があるわけではありません。知らない方が読んだら誤解があるかと思いますのでフォローしておきます。

>電磁界解析の力を借りることもありますよ。

確かにそうですね。

>変位電流(Displacement current)なら知ってますが、ここでは意味合いが違いませんか?単なる容量結合で良いと思います。

細田さんのおっしゃる「単なる容量結合」とは物理的に何を意味する(何が生じる)んですか?どう意味合いが違うのですか?興味があるので教えて下さい。

Bugtimusさん

>あれは真の電荷の移動ではない

その通りです。酸化膜で絶縁してあるので。但し、平行板は、(例えば交流だと)その電位が変動します。この時、電荷保存側を満足するように、電流も流れ込み流れ出します。片方の板に電荷が入ってくると、もう片方の板から電荷がはじきだされるイメージです。
その間をつないでいるのが「ベクトル場」としての変位電流です。ただ、確かに回路理論だとこの効果は無視できるような議論をしますし、してもさしつかえありません(細かいことは書きません。準静的な場という概念を持ち込まないといけないので・・)。

>コンデンサーで言うような容量、つまり、電圧を掛けると電荷がたまる、という解釈でいいんですよね。

はいそうです。

-------------------------------------
以上おかしな事をかいていれば指摘して下さい。
私も誤解していることがありますから。


[2581へのレス] Re: コイルの誘電起電力 投稿者:細田 隆之 投稿日:2002/02/22(Fri) 16:01:57

私もマイクロ波の設計を日常的にしている1級陸上無線技術士なので色々分かって書いているつもりなんですが、電磁波を
導く(マクスウェルの方程式)ために仮想的に導入されたのが
変位電流なので、ここではちょっと違うかなということです。

じゃ、「浮遊容量とは、設計者が意図しない容量マトリクスの要素」ということでいかがでしょう。(容量マトリクスも高校範囲を
逸脱してますでしょうか?)


[2581へのレス] Re: コイルの誘電起電力 投稿者:phonon 投稿日:2002/02/22(Fri) 16:56:20

そうでしたか。私よりずっと先輩だと思います。私が、この分野に参入したのは2年前なので。それまでは理論物理をしていました。

>電磁波を導く(マクスウェルの方程式)ために仮想的に導入されたのが変位電流

私の認識では、マクスウェルの方程式(アンペールの法則)において電荷保存則を満足させるために導入した量が変位電流です。ご存知だとは思いますが、教科書ではよくコンデンサーの片方の板の上下(?)を、閉曲線を端とする曲面で囲み、(変位電流を考慮しないアンペールの法則のみでは)磁場の閉曲線上の線積分値が曲面の取り方に依存してしまい、矛盾が生じるという議論をしています。
変位電流が電磁波の存在を予言するのに重要な役割を果たしているのはその通りだと思います。しかし、これは歴史的には後で分かったことではないでしょうか。

>容量マトリクス

静電係数のことですよね。今の高校では学ばないのではないでしょうか。私の時も、学んでいません。

寄生容量の「定義」を私は知らないので(どれが寄生容量かは状況に応じて示せますが)、上記では直感的にかいています。私たちの話しでBugtimusさんにも少なくとも直感的なイメージは伝わったんではないでしょうか。
あまり厳密な議論を仕出すと、高校生にはつらいと思いますから、この掲示板ではイメージで良い気が今してます。変位電流を持ち出したのはよくありませんでした。反省してます。

私は今日はこの辺りで失礼します。いろいろ考えてたら研究の時間がなくなってきました。物理の議論を考え出すと、しんどいです(苦笑)。


[2580] 断熱変化のグラフ 投稿者:ぱん吉 投稿日:2002/02/20(Wed) 02:46:32

”断熱変化”というところでやってる話の続きです。
実際の1サイクルでどういう変化が起こるのかを説明しておきます。以下をもし読んでくださる方はV−P図を頭に描きながら読んでください。
ピストンを押し込む時気体がされる仕事は>ーP△V(>0)です。理由はピストンが気体に向かっていく速度の分、分子が受け取る力積も衝突頻度も大きくなるからです。
で、>ーP△Vということは、同じ体積の時で比べて普通の断熱変化(ピストンが無限にゆっくり)のときより内部エネルギーの増分が大で、従って圧力も大ですから、”断熱曲線より急な曲線で圧力が上がります。
ピストンを引き出す時も同様に考えると、今度は気体がする仕事が普通の断熱変化より小さく従って断熱曲線よりゆるやかな曲線で圧力が下がります。
(上で断熱曲線といっているのは、最初の状態を通るのと、押し込んだ状態を通るのとの2つです)。
上の2つの曲線を昇って降りるので、元の体積に戻った時、始めの時より圧力が上がっています。従って内部エネルギーは増えており、1往復で気体は仕事をされています。
ピストンの速度を限りなく遅くしていくと、上の2曲線は限りなくくっついて、一つの断熱曲線になり、往復で仕事は0です(ecoさんが最初に考えた過程がこれです)。
仕事は負にはぜったいになりません(これは第2法則と合致します)。


[2580へのレス] Re: 断熱変化のグラフ 投稿者:呆阿 投稿日:2002/02/21(Thu) 23:17:51

ぱん吉さん
P-V図上での変化を議論されていますが,Pは気体の圧力ではなく,
ピストンが気体から受ける単位面積当りの力のことですよね.
(この2つが違うことは,動くピストンが気体から受ける単位面積当り
の力と,同じ気体から静止壁が受ける単位面積当りの力が,ぱん吉さん
のなさった気体分子運動論による説明からも違う事を考えれば,納得さ
れることと思います)以下煩わしいので,この単位面積当りの力を
”圧力”と””で囲んで表記します.ぱん吉さんの説明は,ピストン
を押し込みから引き抜きに切り替えるときに,”圧力”が連続的に変
化することを前提とされていますが,この前提は正しくありません.
理由は分子運動論的には明らかでしょう.極端な話,ピストンを引き
抜く速さを気体分子の最高速度よりも大きくすれば,”圧力”は0に
なります.そうすると,残念ながら,ぱん吉さんの論理は成り立たな
くなります.しかしこの点を除いては,ぱん吉さんの説明に異論はあ
りません.ピストンを押し込むときに外部が気体にする仕事は,準静
的変化のときよりも余計に必要で,ピストンを引き抜くときの負の仕
事は,準静的変化のときよりもその絶対値が必ず小さくなります.


[2580へのレス] Re: 断熱変化のグラフ 投稿者:ぱん吉 投稿日:2002/02/22(Fri) 12:43:40

私の説明のp−V図のpは、”気体の”圧力です。
ピストンが受ける圧力ではありません。
押し込む場合で言いますと、後者がpより大きいから仕事が>-p△V(>0)です。
で、この余分の仕事でエネルギーの増分も多くなるから、
次々の瞬間の”気体の”圧力が、断熱曲線より上に行くわけです。

ピストンの速度は、もちろん”あまり速すぎないことが
前提です。
具体的には(前にも書いたとおり)音速に比べて充分
遅い必要があります。(で、たまたま音速というのは分子運動の速度の程度ですから、分子より速く引き抜く様な状況は元々範囲外です)。

このとき、気体全体で瞬間瞬間の圧力(気体自身のです)は
一様になると考えて良く、私のp-V図上の曲線は、この圧力
を表すものです。

ピストンの速度を0に近付けていくと、2本の曲線は
一本の断熱曲線(PV^γ=const)に収束する、というわけです。








[2580へのレス] Re: 断熱変化のグラフ 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/22(Fri) 13:57:34

「十分遅い」と「限りなく遅い」の違いがイマイチよく分からないのですが・・・

> このとき、気体全体で瞬間瞬間の圧力(気体自身のです)は
> 一様になると考えて良く、私のp-V図上の曲線は、この圧力を表すものです。

準静的変化でなければ、一様になることもなく、圧力pを定義することが出来ないのではないでしょうか?

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2580へのレス] Re: 断熱変化のグラフ 投稿者:呆阿 投稿日:2002/02/22(Fri) 18:56:25

ぱん吉さん
>私の説明のp−V図のpは、”気体の”圧力です。
>ピストンが受ける圧力ではありません。
Bugtimusさんもおっしゃっているように,気体の圧力は準静的でなければ
定義されないと思います.(非平衡の統計力学は私の守備範囲外ですので
断言はしませんが,仮に定義できたとしても以下の議論には影響ありません).
気体の状態変化がp-V図上の連続曲線で表されるのは,準静的変化に限られます.
一般の変化では,ある平衡状態から別の平衡状態に変化すると,平衡状態に落ち着
いた時点で別の点にポッと移るといった感じです.無限小間隔の点が無限に連なっ
ているのが準静的変化です.
>ピストンの速度は、もちろん”あまり速すぎないことが前提です。
>具体的には(前にも書いたとおり)音速に比べて充分遅い必要があります。
このような前提は,元の入試問題にはありませんし,実際の問題を取り扱う場合に
も必要ありません.必要なのは準静的と近似して取り扱う場合です.もしかして,
ぱん吉さんは今考えている過程を準静的と勘違いされていませんか.準静的と近似
するならば,ぱん吉さんのおっしゃる断熱曲線と実際の”実験結果”との差は近似
の誤差の範囲内です.(話が分かりにくかったら下のBugtimusさんへの返信をご覧
下さい.)
>私のp-V図上の曲線は、この圧力を表すものです。
だとすると矛盾が起こります.ぱん吉さんのp-V曲線は右回りになります.一般に
右回りの熱サイクル(ここでは右端が閉じていないのでサイクルではありませんが結
論に変わりはありません)では気体が外部に正味する仕事は正となります.矛盾の
原因は,
>気体全体で瞬間瞬間の圧力(気体自身のです)は一様になると考えて良く、
と考えたことです.繰り返しますがこれができるのは準静的の場合に限られます.
準静的と近似したときには,気体のする正味正の微小仕事は誤差の範囲で無視でき
ます.

Bugtimusさん
>「十分遅い」と「限りなく遅い」の違いがイマイチよく分からないのです
>が・・・
準静的変化は変化のスピードが「限りなく遅い」と考えたものです.しかし,現実
にはそんな変化はありません.しかし,準静的変化と近似できる変化はたくさんあ
ります.どういう場合に近似できるかというと,例えば,ピストンの動くスピード
が気体分子の速度,あるいは音速に比べて「十分遅い」場合です.たとえば雑な話
をすると,気体分子の平均速度が500m/sでピストンのスピードが5m/sならば,
この変化を準静的と仮定しても,誤差は1パーセントほどであろうということです.
ですから,この1パーセント以内の違いを議論することは無意味です.


[2580へのレス] Re: 断熱変化のグラフ 投稿者:呆阿 投稿日:2002/02/23(Sat) 14:57:15

上のp-V図で右回りだから云々のところは取り消します.今は気体のする仕事がぱ
ん吉さんのいうところの∫pdVではないので反論になっていませんでした.(私に
いわせれば,そもそも圧力が定義できない.)言いたかったのは,気体の非一様性
を無視するということは,準静的と近似することと同じ事だということです.直感
的に言えば,エントロピーは気体の非一様な部分から湧きだしてきますので,非一
様性を無視することは今の問題ではできません.別の言い方をすると,気体にする
仕事がある程度大きくなるためには,非一様性もある程度大きくしなければなりま
せん.


[2580へのレス] Re: 断熱変化のグラフ 投稿者:ぱん吉 投稿日:2002/02/23(Sat) 16:21:15

>気体の非一様性を無視するということは,準静的と近似することと同じ事だということです.

準静的と近似していますよ、もちろん(圧力や衝突頻度が一定とみなせると言ったらこの言葉の定義そのものです)。

元の問題はもちろんそんな仮定はないですね(問題を見たわけではないですが)、ピストンの速度はいくら速くても良いわけです。仕事が正になることは第2法則で保証されています。
ただ、ミクロな説明もしたかったので、準静的過程を選んだわけです。

で、求めている仕事は断熱曲線(0次近似)からの1次のずれです。圧力、密度は(0次近似で)一様とみなし*、ピストンの近くをミクロに見て1次のずれを求めているわけです。
*それによる誤差は2次の微少量です。

で、ピストンの極近くを見れば、跳ねかえってくる分子が速い分エネルギーが大きいですから、そのレベルで見れば非一様ですね、でこの非一様性も一次の微少量です。

ピストンに当たってくる分子は、その前に当たった時から何回も衝突を繰り返して、平均的な速度になっており、力積の増分は(1次の精度で)2mv(vはピストンの速度)で計算できるという事です。

一次のずれですから仕事も1次の微少量ですが、別に何回も繰り返せば、例えば気体の温度を倍にする事だって出来ます。
計算しようと思えば、どのくらいの速度と振幅で何回やればいいかも計算できるはずです。


[2580へのレス] Re: 断熱変化のグラフ 投稿者:ぱん吉 投稿日:2002/02/24(Sun) 11:51:08

>「十分遅い」と「限りなく遅い」の違いがイマイチよく分からないのですが・・・

限りなく遅く・・・というのは、0に近付ければ、”好きなだけ”断熱曲線に近くできると言う意味です。これは極限概念であって具体的な速度の事では有りません。

十分というのは、具体的な速度の程度を言っています。各瞬間の圧力(と密度)が一様とみなしうる速度です。
もっとはっきり言えば、ピストンの速度/音速の比率が小さい程度に、実際と断熱曲線との誤差が小さいと言う意味です。

>準静的変化でなければ、一様になることもなく、圧力pを定義することが出来ないのではないでしょうか?

最初の問題はもちろんピストンの速さは限定していませんいくら早くてもべつにいいわけです。
が、私の説明は、準静的過程を使って1次の誤差として仕事を求めています。
準静的過程というのは、正確には=断熱過程ではありません、実際の過程はどんなに遅くても速度がある以上、各瞬間の状態は平衡状態とかならずズレがあります。このズレを小さいとみなして、断熱過程を0次近似として採用する場合これを準静的過程という言葉で言うわけです。



[2579] 無題 投稿者:スキンムーブ 投稿日:2002/02/19(Tue) 19:12:24

青チャート1Aの問題です。
自然数1,2・・・,nをある順に並べかえたものの1つをa(1),a(2),・・・,a(n)とする。1*a(1)+2*a(2)+・・・+n*a(n)を最大にする{a(n)}はどのような数列か。

(a(k)-k)^2=a(k)^2-2ka(k)+k^2
この式を使って解くみたいなんですが
後の解法は理解できるんですが、どこからこの式がでてきたのかわかりません。

もし最小を求める場合は
{a(k)-(n-k+1)}^2=a(k)^2-2(n+1)a(k)+2ka(k)+(n-k+1)^2
を使うみたいです。


[2579へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/19(Tue) 19:49:09

答えが、「a(k)=k」になることを実験して予想してあるんでしょう。おそらく。

「a(k)=k」となることを示そう、と考えれば、その式は思いつかなくもないと思う。少し厳しいけど。

現場では、他の解答になると思います。数学的帰納法でなんとかなりそうだし。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2579へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/19(Tue) 20:43:05

数学的帰納法使う場合は、一般化して、「小さい順に並べれば1*a(1)+2*a(2)+・・・+n*a(n)が最大」であることを証明することになるから、解きすぎてしまうことになるか。

やはり、「(a(k)-k)^2=a(k)^2-2ka(k)+k^2」は思いつかないと大変なのか。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2579へのレス] 思いつき 投稿者:シャイン★結希 投稿日:2002/02/19(Tue) 23:02:20

こんにちは。
この式をまず思いつかないとダメでしょうね。
ただ、問題によってはこれらの式がかかれていて、
それらを使うように指示されているものもあります。

この手の問題は、うまく誘導にのれば一見して
手強そうに見える問題も簡単ですが、何が何だか
わからないとツラいでしょうね。

http://yuki.to/


[2579へのレス] Re: 無題 投稿者:さすらい 投稿日:2002/02/19(Tue) 23:04:47

この問題を見ているとコーシー・シュワルツの不等式を使いたくなってくるんですが、これで解く方法はあるんでしょうか。
{(1,2,…,n)・(1*a(1)+2*a(2)+・・・+n*a(n))}^2<(=)
(1^2+2^2+…n^2)×(a(1)^2+a(2)^2+・・・+a(n)^2)
この等号が成立するときですよね。
だれか詳しい方お願いします。


[2579へのレス] Re: 無題 投稿者:Laurent 投稿日:2002/02/20(Wed) 00:32:50

Cauchy-Schwarzの不等式でいけそうですね。

ベクトルp=(1,2,…,n)、ベクトルq=(a(1),a(2),…,a(n))とすると、
(p,q)<=|p||q|で、|p|=|q|=一定。等号成立はpとqが一次従属のときであるが、
qの成分はpの成分を並べ替えたものであるからq=pのとき。
すなわち、a(k)=k。こんなものでいかがでしょうか。 >さすらいさん


[2579へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/20(Wed) 16:55:43

Schwarzから作ったような気もするが・・・
n変数のSchwarzの不等式ともなると、証明せずに使うのは(入試の答案としては)問題があるように思います。

最小値はまた別に出さないといけないわけで、実戦向けではないかと。(ケチを付けるつもりはないですが、時期が時期なので)

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2579へのレス] Re: 無題 投稿者:さすらい 投稿日:2002/02/20(Wed) 17:51:42

そうですね。
二次までだったら使っても大丈夫でしょうけど。
入試では、これを使って答えを予想して数学的帰納法で答案を書くということになるでしょうか。
最小値はわかりませんが。
ここに来ている方は高3が多いんでしょうか。
自分は今高3なんで、もうすぐ試験です。
みなさん、がんばりましょう。

ところでLaurent さん、最小値を出す方法はわかりませんか?


[2579へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/20(Wed) 20:02:48


(略解)

自然数1,2・・・,nをある順に並べかえたもので、1*a(1)+2*a(2)+・・・+n*a(n)を最大にする数列{a(n)} を{M(n)}と置く.

M(k+1)<M(k)となるk(1≦k≦n-1)が存在すると仮定すると、M(k+1)とM(k)を入れ替えた数列における「1*a(1)+2*a(2)+・・・+n*a(n)」は大きくなる(∵a<b c<d のとき、(b-a)*(d-c)>0 より ac+bd>ad+bc)ので、最大であることに矛盾する.

よって、任意のk(1≦k≦n-1)に対してM(k+1)>M(k).
つまり、M(k)=k.

----------

# 注:説明不足な点もありますので、このまま解答に使わないでください。(念のため)

最小値に関しても同じ議論です。

「大きいもの同士を掛け合わせると最大になる」ことの説明です。
まず思いついたのがコレですが、ちょっと書きにくいです。(記号の面で)

あと、最大値を与える数列{a(n)} の存在は、要素が有限個ですから明らかです。(高校数学で問題となるようなことではないと思いますが。)

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2579へのレス] Re: 無題 投稿者:ぱん吉 投稿日:2002/02/21(Thu) 01:10:04

Bugtimus さんの証明はとても面白いし、きちんとしていますね、感心しました。
ただしご本人が始めに言っているように答えをまず思いつく必要がありますね、答えをどうやって思いつくかですが、
最大の方は、図形的に考えると殆ど明らかで、
長さが決まっているベクトルp(k)、q(k)の内積は同じ方向を向いた時最大*ということですね(p(k)=k、q(k)=a(k))。
          .            ..
最小の方はわかりにくいですね、なぜ難しいかというとp(k)=−k、q(k)=a(k)として、(−k)・a(k)を最大とするa(k)=-kが、許されるa(k)の範囲にないからです。
この場合の求め方はひとまず置いておいて、スキンムーブ さんの最初の疑問に戻ります(依頼主のことを忘れてました)。
上の*は、Laurentさんの説明したSchwarzの不等式と殆ど同じ事を言っているのですが、
元の問題で使っている(a(k)-k)^2=a(k)^2-2ka(k)+k^2
(は>=0だから・・・)という論法は、Schwarzの不等式の一般的導出を、具体的なベクトルk、a(k)でもってはじめからやっているわけです。一般的導出というのは、
0<=煤ip(k)−q(k))^2の右辺をばらして移項し、
、狽吹ik)・q(k)<={(狽吹ik)^2+狽早ik)^2)}/2
<=√(狽吹ik)^2・狽早ik)^2)=|p(k)||q(k)|のことです。
2個目の不等号は相加平均<=相乗平均の関係です。
どの等号もp(k)=q(k)の時です。

最後に、最小とするa(k)=n+1-kの求め方です。
これは物理で良く使うラグランジュ未定乗数法という方法の応用で、関数がある範囲内に限られた場合の最大最小問題を解く一般的方法です(ベクトルは自然数が引数の関数です)。
今、蚤(k)=n(n+1)/2で一定(=sと書きます)ですから、この条件を満たすa(k)の範囲で、煤iーk)・a(k)を最大にするものを求めます。このとき未定乗数をλとして、
F=煤iーk)・a(k)+λ(蚤(k)ーs)を最大にするλとa(k)を求めればよい、というのがこの方法の要旨です。
Fをλで微分したものが0という式からは、単に蚤(k)=sが出るだけですが、与えられたλに対してFを最大にするa(k)は
F=煤iλーk)a(k)ーλsだから煤iλーk)a(k)を最大にする
a(k)=λーkです。最後にλを求めれば完了ですが、
この両辺の狽とってs=λn−sよりλn=2s=n(n+1)
ですから、λ=n+1。これで完了です。

なんだかわかりにくい方法ですが、一般的なので必ず答えが出るという意味で強力です(だから物理で良く使います)。


[2579へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/21(Thu) 16:36:03

> 最大値を与える数列{a(n)} の存在
自己レス(補足)です。
これは、上の略解では、必要条件しか出ていないように見えますが({M(n)}が最大値を与えるのならば、M(k)=k)、十分性は明らかだという意味です。

> ラグランジュ未定乗数法

ああ、なるほど・・・
確かに、一般性のあるやり方ですね。
数学の問題では使ったことがないですが・・・

> 煤iλーk)a(k)を最大にするa(k)=λーkです。

ただ、この場合は、「Schwarzの不等式」が前提になっているので、そんなに一般性が無いのかな・・・

例えば、
「自然数1,2,4・・・,2^(n-1)をある順に並べかえたものの1つをa(1),a(2),・・・,a(n)とする。」
などとすると、ベクトルの内積、Schwarzの不等式などで解くのは無理なように思います。

脱線しましたが、スキンムーブさんの疑問に答えるのは難しいですね。

Σka(k)が最大になるときは、a(k)=k(k=1,2,3,...,n)のときで、Σ(a(k)-k)^2≧0の等号が成立するときだということなのですが、なぜこれで解けるのかと言われると、説明し辛いです。

まあ、Σ{a(k)}^2やΣ{k}^2が一定だからなのですが、なぜ思いついたのかと言われると・・・テクニックだと言ってしまえばそれまでですが。

スキンムーブさんが、どの程度、上の説明で分かったのかも気になりますし、スキンムーブさんの意見も聞きたいところです。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2579へのレス] Re: 無題 投稿者:ぱん吉 投稿日:2002/02/22(Fri) 12:56:55

「自然数1,2,4・・・,2^(n-1)をある順に並べかえたものの1つをa(1),a(2),・・・,a(n)とする。」
などとすると、ベクトルの内積、Schwarzの不等式などで解くのは無理なように思います。

え?何故ですか?
全く同じ様に出来ると思うのですが?
異なる数の組n個なら何でも同じじゃないでしょうか?

あと、一般性と私が言ったのは最小を求める方です。
範囲条件が付けられたときの最大最小問題、これを解けるか解けないかこれで解ける問題がぐっと増える、と言う意味です。


[2579へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/22(Fri) 14:12:44

「自然数1,2,4・・・,2^(n-1)をある順に並べかえたものの1つをa(1),a(2),・・・,a(n)とする。1*a(1)+2*a(2)+・・・+n*a(n)を最大にする{a(n)}はどのような数列か。」

の意味ですが・・・(もう片方は、1,2,3,...,nのまま)

この場合、一次従属となることはないので、Schwarzの不等式では無理ですよね?

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2579へのレス] Re: 無題 投稿者:ぱん吉 投稿日:2002/02/24(Sun) 11:26:46

1,2,3,4・・・との積ですか、それならそうですね。
(1,2,4・・・,2^(n-1)との積かと思いました)
1,2,4・・・,2^(n-1)の向きうる方向を解析的に限定できないから解析的な方法は無理ですね。
Bugtimus さんの方法ならこれでもおなじですから一般的ですね、大きい順同士の積が一番大きいということがこの問題の本質ですね。



[2578] 物理のエッセンスの問題で 投稿者:nekoro 投稿日:2002/02/19(Tue) 18:34:19

物理のエッセンスの波動の分野の33番(光のドップラー効果)
について教えてください。
解答をみると、c=fλで光速cは一定。波長が長くなっているから、振動数は減っている。よって星雲は遠ざかっている。
となっているのですが、どうして振動数が減っていると遠ざかっている事が分かるのでしょうか?

ちなみにその問題です↓
静止している水素原子は波長λ0 の光を出す。ある星雲からの同じ光を調べたら、λ0 より長いλ1 の波長になっていた。
この星雲は地球に近づいているのか遠ざかっているか?
光速をcとし、地球は止まっているとしてよい。

どなたか解る方、教えて頂けないでしょうか?
よろしくお願いいたします。


[2578へのレス] Re: 物理のエッセンスの問題で 投稿者:dawn 投稿日:2002/02/20(Wed) 08:37:04

地球から星雲を見た時に、地球は止まっているとしてよいわけだから、
観測した振動数は星雲が近づいてるのと遠ざかっているのとどちらの方が小さいですか?
というか、波長が長くなっているのだから遠ざかっていることは明らかだと思います。
原理に戻って考えてみてください。(1秒間に受け取る波の長さ、個数、そして波長)


[2578へのレス] Re: 物理のエッセンスの問題で 投稿者:nekoro 投稿日:2002/02/20(Wed) 17:18:42

良く考えたら超簡単でしたね!
教えていただき有難うございました。
答えの書き方で振動数が減っている、よって・・・となっていたので振動数が減ると遠ざかるとなぜ解るのかとずっと悩んでいました。波長が長いという事だけで解りますね。
こんな事がわからなかった自分が情けないです。
本当に有難うございました。


[2577] 無題 投稿者:スキンムーブ 投稿日:2002/02/19(Tue) 12:37:52

すべての自然数nについて2^(n+1)+3^(2n+1)は7の倍数であることを証明せよ。
解答では数学的帰納法を使っていたんですがそれ以外の解きかたってありますか?

あとΣの表記の仕方がわからないんですけど、そういう掲示板などでの数式の書き方を紹介しているサイトがあったら教えてください。


[2577へのレス] Re: 無題 投稿者:さすらい 投稿日:2002/02/19(Tue) 16:37:04

n=1のとき7の倍数になってないんですが・・・


[2577へのレス] Re: 無題 投稿者:スキンムーブ 投稿日:2002/02/19(Tue) 19:01:11

すいません。
2^(n+1)+3^(2n-1)


[2577へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/19(Tue) 19:22:47

modを使っていいのなら、

2^(n+1)+3^(2n-1)
=4*2^(n-1)+3*9^(n-1)
≡4*2^(n-1)+3*2^(n-1)
=7*2^(n-1)
≡0 (mod.7)

というような解法もあるかと。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2577へのレス] Re: 無題 投稿者:さすらい 投稿日:2002/02/19(Tue) 20:30:19

Bugtimusさんのやり方がおそらく一番一般的だと思います。
数学的帰納法っていうのは、面倒くさいですし。


[2577へのレス] Re: 無題 投稿者:Laurent 投稿日:2002/02/19(Tue) 23:51:19

数学的帰納法がもっとも自然かなと思いますが・・・。

a(n)=2^(n+1)+3^(2n-1) とおけば
a(n+1)=2^(n+2)+3^(2n+1)=9*a(n)−7*2^(n+1)
または、
a(n+1)=2*a(n)+7*3^(2n-1)と簡単に漸化式が作れるので。

あとは、本質的にBugtimusさんのやりかたと同じですが
9^(n-1)=(7+2)^(n-1)として二項展開するとか。


[2577へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/20(Wed) 16:58:12

漸化式を使うのなら、

a(n+2)-(2+9)*a(n+1)+(2*9)*a(n)=0

を使う手もありますね。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2576] Z会京大受験科についての質問 投稿者:pretender 投稿日:2002/02/19(Tue) 10:30:08

Z会京大受験科PK2-1大問U(2)についての質問です。
解答によると、右ねじの法則により各辺には-Z向きの誘導起電力が生じるらしいのですが、どうしてそうなるのか分かりません。問題文が非常に長いため、ここに記すことはできませんが、どなたか旬報が手元にある方は詳しく教えて下さい。(ルール違反ですが勘弁して下さい)


[2576へのレス] Re: Z会京大受験科についての質問 投稿者:あきな 投稿日:2002/02/19(Tue) 17:40:47

普通に右ネジでやればでますよ。
磁界がx軸方向、vがy軸方向だからvからBにネジを回せば誘導起電力は−z軸方向。


[2576へのレス] Re: Z会京大受験科についての質問 投稿者:pretender 投稿日:2002/02/20(Wed) 11:17:35

あきなさん、どうも有り難うございました。この時期になって基本的なことが分からないと、本当に怖いですね。とても感謝しています。


[2576へのレス] Re: Z会京大受験科についての質問 投稿者:あきな 投稿日:2002/02/20(Wed) 11:52:05

もう少しで前期ですね。お互い頑張りましょう。


[2575] 二次対策 投稿者:悠太 投稿日:2002/02/18(Mon) 21:28:30

皆さん二次の勉強で河合とかが出してる何々大学の予想問題集とかやってますか。自分岡山大学工学部志望ですが、このレベルの大学のは本屋にないんです。こういうのやるのとやらないのとではけっこう違いますよね。赤本だけで大丈夫ですか。


[2575へのレス] Re: 二次対策 投稿者:名無しさん 投稿日:2002/02/18(Mon) 21:38:24

赤本だけで充分だと思います。
予想問題も過去の問題から予想されるわけですし
過去問で一定の割合で得点できていれば自信をもって
受けてきていただいて大丈夫だと思います。


[2574] 京大への数学!? 投稿者:雨森 投稿日:2002/02/18(Mon) 21:27:41

現在高Uで京大の総合人間か農学部を志望しています。
三月から数学の思考力を鍛えようと考えているのですが、大学への数学の学力コンテストかZ会の一番難しいコースかどちらにしようか迷っています。どちらの方が思考力養成に向いていますか?今のところUBまでは大数の一対一対応を一通りやりました。どなたかアドバイスください、よろしくおねがいします。



[2574へのレス] Re: 京大への数学!? 投稿者:そう 投稿日:2002/02/19(Tue) 06:04:21

京大の数学ならもし青チャートレベルの基本的な定石見たいのがしっかり身についているのであれば、大学への数学(雑誌のほう)を出している会社が出版している入試の奇跡というものを買って学校の授業中にでも、解けるまで制限時間を設けず考えまくるというのが結構お勧めです
だいたい一週間ぐらいたつと自分の力に限界を感じて解答をみるはめになります

京大の数学はにたような解法を取ることが多く、整数問題など思考力を鍛える問題が満載です


[2574へのレス] Re: 京大への数学!? 投稿者:まさお 投稿日:2002/02/19(Tue) 18:57:29

個人的には、大数の学コンがおすすめです。解くまでに時間がかかる(俺はね)けど解いた後になんとも言えない達成感があるんですよ。


[2574へのレス] Re: 京大への数学!? 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/19(Tue) 19:24:57

Z会の方はあまり知らないので、何とも言えませんが、学コンは悪くないと思います。

あと、1対1が終わっているのなら、過去問(青本)をやってみるのもいいと思います。青本の解答見れば分かる程度の力は付いていると思いますから。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2573] どっちにしようかな? 投稿者:けろりん 投稿日:2002/02/18(Mon) 16:11:46

今、Z会か進研ゼミの数学(物理も)どちらをとろうか迷っています。
国立難関大目標です。
どちらのほうがいいですか?アドバイスください。


[2573へのレス] Re: どっちにしようかな? 投稿者:名無しさん 投稿日:2002/02/18(Mon) 21:29:28

どちらでも大差は無いと思います。
どちらも難関大用のテキストありますから、
きっちりこなせば大丈夫です。

ただ進研ゼミのテキストを持っている人を試験場で見かけると
表紙で現役丸出しですねぇ。
中身はわかり易いですがね。


[2573へのレス] ありがとうございます♪ 投稿者:けろりん 投稿日:2002/02/19(Tue) 17:45:32

名無しさんアドバイスどうもです。
問題はテキストをちゃんとやるかやらないかですよね。う〜ん(-_-;)
進研ゼミのほうがわかりやすい気がするし・・・
Z会は先生に薦められたんですが。
よく考えてみます

また何かアドバイスがあればください。


[2573へのレス] Re: どっちにしようかな? 投稿者:なな 投稿日:2002/02/19(Tue) 19:00:36

 私は今年Z会の物理とってました。ちゃんとこなせば
力になりますよ。私は4月頃は苦手意識があったんですけど、
ちゃんとやっていくにつれて得意になりました。

 進研ゼミの教材は実際には見たことないので、なんにも
言えませんが、Z会のはカラーじゃないので味気ないかも。。。
これは好みの問題だと思いますが・・・ ただ、基礎的なことが
分かってないとちょっと厳しいかも。大きい書店で、Z会の
特約書店になってるとこにはZ会の教材の見本が置いてあると思うので見てみてはどうですか?


[2573へのレス] ありがとうございます☆ 投稿者:けろりん 投稿日:2002/02/19(Tue) 19:27:48

ななさんどうもです。
このまえ紀ノ国屋でみてみたんですが、カラーじゃなかったです。&Z会やっぱり問題ハイレベルそうですね。進研ゼミでやってみて、基礎がしっかりしたらZ会の参考書でも買おうかな?
皆さんの意見、ありがとうございました。がんばって添削出さなきゃ!


[2573へのレス] Re: どっちにしようかな? 投稿者:なな 投稿日:2002/02/19(Tue) 22:03:43

 言い忘れたことを少しだけ。

 添削モノは三教科が限界だと思う。自分はそうだった。
2教科ぐらいがベストかな。添削は溜まってくとズルズル
出さなくなるし、意味がないから。〆切までに出すのの
10倍くらいエネルギーがいりました(苦笑)

 Z会の旬報は他教科も載ってるからそれをみてやればいいし。


[2573へのレス] Re: どっちにしようかな? 投稿者:ひとこと 投稿日:2002/02/20(Wed) 18:54:29

Z会の東大コースとったけど、かなり進路がおそいです。しかも、簡単です。Z会の理科は帰ってきても「添削」の意味がないです。


[2572] 愛知]_・) ジー どっちに行こう・・・。 投稿者:(◎Σ◎) 投稿日:2002/02/18(Mon) 10:20:02

南山の数理情報と名城の理工。
どっちがいいんでしょう??

南山がほうがやはり就職も世間の評価もいいのでしょうか?
名城も県内じゃいいほうですが・・・。

やはり南山でしょうか・・・だれか答えてください。。。


[2572へのレス] Re: 愛知]_・) ジー どっちに行こう・・・。 投稿者:あきな 投稿日:2002/02/19(Tue) 18:11:40

南山の評価がいいのは文系だけじゃない?
理系なら名城って気がする。(とはいえ名大があるからあんまり評価されてない気が…。)
ただキャンパスの雰囲気と、世間の評判は圧倒的に南山でしょう。うちの馬鹿な姉とその友人(ともにS山)が以前名城のことを暗いとか言ってた。
悩むねえ…
結論 理系として生きる ⇒ 名城
    そこそこ楽しんで就職 ⇒ 南山
学部卒で就職するならやっぱり南山かなあ…まあよく考えて決めたほうがいいよ。
 


[2571] 私立理工系 投稿者:お茶 投稿日:2002/02/17(Sun) 23:56:26

皆さんに質問!
ズバリ、同志社、立命館、上智、あなたならどこにいきたいですか?因みに学科はすべて機械系です。ショージキ!どこに金払うか悩んでます。しかも期限は結構迫ってます。
そんなもん自分の行きたいとこに払えばいーじゃーん!という声は重々承知してますが、なにぶん決め手に欠けるんです。
現在の自分の考えをカンタンに書きますと・・・{上智は文系のイメージ強いし、同志社はどうも実際より偏差値高く出てるよーな気がしなくもない、倍率も低いし・・・立命館は他ニ校よりはチョット落ちるかな・・・}てな感じです。
個人的な意見でいいんで教えてください。

早慶受かれー


[2571へのレス] Re: 私立理工系 投稿者:D 投稿日:2002/02/18(Mon) 01:48:54

と、言うことは、上の三校には受かったってことですね。 おめでとうございますー。 
 参考にはなりませんが、上智は理系ではあまり認められていないと言う話を聞いたことがあります。あとの二校はよく知りません。 意見になってないですね。ごめんなさい。
 早慶に受かってるといいですね。


[2571へのレス] Re: 私立理工系 投稿者:はちみつ 投稿日:2002/02/18(Mon) 10:52:39

友人の父親がIBMの面接官をやっていると友人が父に言われたって言ってたんだけど上智はIBMに相手にされないからやっぱ理科大と言ってたよ


[2571へのレス] 意見ありがとうございます。 投稿者:お茶 投稿日:2002/02/19(Tue) 02:16:02

偏差値でいったら理科大も上智も変らないんですが、やはり就職有利は理科大ですかね・・・。因みに、理科大は受けてません・・・。^^:ん〜そーかそーか。上智の文系はすごいんですけどね。
考え中、考え中。


[2571へのレス] Re: 私立理工系 投稿者:るるぶ 投稿日:2002/02/19(Tue) 13:29:14

偏差値気にしてるんだったら同志社いけば。


[2569] 早稲田理工の物理 投稿者:そう 投稿日:2002/02/16(Sat) 22:19:49

3番でレンズの中に物体が入っててそっから像とかを求める問題が出たんでてましたが、友人はだれもとけてなくどう解くのか知りたいです
とけたかた教えてください


[2569へのレス] 訂正 投稿者:そう 投稿日:2002/02/16(Sat) 22:50:12

なんか日本語おかしいな
像とかを求める問題が出たんでてましたが

像とかを求める問題がでてたんですが、


[2569へのレス] Re: 早稲田理工の物理 投稿者:ta93 投稿日:2002/02/17(Sun) 01:27:55

俺も(2)までしか解けませんでした。(ーー;)r
他は簡単だったんですけどねぇ・・・。
得意科目選考狙ってたのに・・・無理っぽい(^ー^;)

それはそうと解けた人いたら俺も教えて欲しいですm(__)m


[2569へのレス] Re: 早稲田理工の物理 投稿者:mameo 投稿日:2002/02/20(Wed) 22:17:22

あれは東大の問題をちょっと変えただけ。
最後の2つ以外解けたけど・・・
最後の2つにnに代入したはずなのにnが残ってる。
パニックになっていたらしい・・・悲しい。
しかし、俺には解答をここに打つ暇もないので
誰か打ってあげて・・・
あれは駿台の坂間先生はあの問題をガラス玉を
持ってきて実験してたらしい・・・
あの問題は一度解いている人と解いていない人で
差がでてしまう問題だから・・・やはり今年の早稲田は
浪人生相当有利・・・ちなみに俺は現役です


[2568] 無題 投稿者:けん 投稿日:2002/02/16(Sat) 21:45:55

三角形の3辺の長さが小さい順に等比数列をなすとき、
その公比rの満たす条件を求めよ。
解答では長さが小さい順よりr≧1となっていたんですがr>1ではないんですか?


[2568へのレス] Re: 無題 投稿者:jj 投稿日:2002/02/17(Sun) 01:04:09

r=1のとき正三角形です


[2568へのレス] Re: 無題 投稿者:けん 投稿日:2002/02/17(Sun) 06:21:42

小さい順っていうのは同じ長さでもいいんですか?


[2567] 行列の掃き出し法 投稿者:ha 投稿日:2002/02/16(Sat) 02:47:38

3行3列の行列の掃き出し法について教えてください。
いったい、なにをしているかが分りません。
変形の仕方もわかりません。変形の指針などを教えてください。


[2567へのレス] Re: 行列の掃き出し法 投稿者:den 投稿日:2002/02/17(Sun) 00:02:01

大学の線形代数の教科書に載っています。(ガウス・ジョルダンの掃き出し法)。今、個人的に、試験の真っ最中なのでこれぐらいしかいえない。ごめん。学校では、”アントンのやさしい線形代数・・・現代数学社”を使わされた。”すぐわかる線形代数・・・石村園子著・・・東京図書”は、書き方がやさしめでおすすめ。


[2567へのレス] Re: 行列の掃き出し法 投稿者:jj 投稿日:2002/02/17(Sun) 01:42:35

大学の授業は、はるかとおく・・・
社会人になって早5年
行列の掃き出し法とは、つまりその行を連立一次方程式の集まりとみなすわけです
そこで、高校までは代入法でときますが
掃き出し法は、その式の解まで含めて計算してしまう方法
です
一行目のXの係数を二行目のXの係数に合わせてやって
二行目のXの項を削除してやるわけです
すると二行目の全体の式の項が減りますから同じように
三行目も同じ操作で消えます
じゃあ、X,Y,Z全部消えてしまうでは無いかと思われますが=はさんだ右辺の解が変化することによって
消えるのを防ぎます
また、式が消えてしまう場合は一次従属です


[2567へのレス] Re: 行列の掃き出し法 投稿者:スー 投稿日:2002/02/17(Sun) 03:53:55

掃き出し法はやっていること自体は一時連立方程式の消去法と同じです.
しかし,掃き出し法はそれにとどまらずもっと線形台数の本質的な部分をなします.

なぜそれで逆行列や連立方程式の解が求まるかを説明します.
基本変形は次のものの組み合わせです
1,n行目のa(≠0)倍をm行目にたす.
2,ある列に0でない実数をかける.
3,n行目とm行目を交換する.

ある行列Aが基本変形によってBになったとすると,Bはある行列Pを用いて
B=PA
と書けます.
基本変形を繰り返したときは全体の変形を表す行列(要はB=PAと表すための行列)は,その行列P1,P2,…,Pnを用いて
P=P1P2…Pn
と行列のかけ算で表されます.
いま行列Aと単位行列Eを並べてできる行列(A E)が基本変形で(E B)と変形できたとします.するとその間に行われた変形に対応する行列をPとすれば
(E B)=P(A E)=(PA P)
よって
E=PA B=P
すなわち,B=A^(-1)
となります.同様のことを一時連立方程式で考えると
連立一次方程式は定行列A,変数ベクトルx,定ベクトルaを用いて
Ax=a
と書けますが,これも行列(A a)を考えてそれらを基本変形することで(E b)になったとすれば
(E b)=P(A a)=(PA b)
よって,x=A^(-1)=b
となって連立方程式の解を見つけることができます.


[2567へのレス] Re: 行列の掃き出し法 投稿者:ha 投稿日:2002/02/18(Mon) 02:30:38

ありがとうございます。
また、やってみて分らなくなったらしつもんさせて下さい。


[2566] 質問です! 投稿者:きなこ 投稿日:2002/02/14(Thu) 22:56:58

街灯の光が拡散すると、その拡散を形づけるように
原色に近い、青い線が、六角形や八角形をつくります。
それは、遠くの街灯ほど綺麗に見えます。
でも、友達も家族も先生もだれも見えないといいます。
青い線の正体を知りたいです。
ちなみに、その線は、とっても細いです。


[2566へのレス] Re: 質問です! 投稿者:賀理励 投稿日:2002/02/18(Mon) 10:18:48

それは光源から空気中を通過しただけですか、
ガラスを通してとかではなく?
内容についての質問です。


[2566へのレス] Re: 質問です! 投稿者:ぱん吉 投稿日:2002/02/19(Tue) 00:34:00

カメラや映画で、逆光で撮った時に六角形(だったか何角形だったか)光線そって並ぶことがありますよね、あれを思い出しました。
どちらも理由はわかりません。青い光は私は見た事はありません。視覚は物理だけでなく目の生理学も入ってきますから、青い光は見える人と見えない人がいるのかもしれません。
私も見えたいので、街灯があったら必ず見るようにしたいと思います。カメラや映画の方はフィルムに写るのだから完全に物理です(こちらもだれか知っている人いたらお願いします)。


[2566へのレス] Re: 質問です! 投稿者:きなこ 投稿日:2002/02/23(Sat) 15:06:29

はい。光源は、ガラスじゃないけど
街灯のカバーは通過しています。
だから、そのカバーで、光が屈折して起こったものかなって
思いますが。
でも、なぜ青い光だけしか見えないのか
わからないのです。


[2565] 順列がわかりません 投稿者:はちみつ 投稿日:2002/02/14(Thu) 22:19:39

質問があります
1、2、3、3、4、4から4文字取り出し順列を作るとき
口口口通りできる。
また5文字取り出して順列を作るとき、前から読んでも後ろから
読んでも同じにする時の確立

突然すいませんがどうしてもわかりません
お願いします


[2565へのレス] Re: 順列がわかりません 投稿者: 投稿日:2002/02/14(Thu) 22:47:25

確立→確率です。


[2565へのレス] Re: 順列がわかりません 投稿者:スキンムーブ 投稿日:2002/02/15(Fri) 21:31:50

6文字全部を並べる順列として考えたら
そのうち1〜4文字が一緒で5、6文字目が違うっていう
ダブりがあるからそれを引けばいいんじゃないですか?
6文字を並べる順列
6C4×4C2×2=180
ダブりがでるのは5、6文字目が違う数字のときで同じ数字の場合はダブらないから
4C2×2×2=24
よって
180−24=156通りはダブる。
よって
156÷2+24=102(通り)

僕もたいして頭よくないのであってるかどうか自信ないです。
解答は持ってるんですか?


[2565へのレス] Re: 順列がわかりません 投稿者:スキンムーブ 投稿日:2002/02/15(Fri) 21:44:28

34○43みたいな形しかないから3344は必ず取り出さなければならない。
○のところが1の場合を考えると
すべての並べ方は
5C2×3C2=30
条件を満たすのは34143と43134の2通り。
よって確立は2/30=1/15
○が2のときも同様だから
1/15+1/15=2/15

違ってたらすいません。一応解けたので書かせてもらいました。


[2565へのレス] Re: 順列がわかりません 投稿者:スキンムーブ 投稿日:2002/02/16(Sat) 04:45:42

後の問題たぶん間違ってます。
誰か教えてください。


[2565へのレス] Re: 順列がわかりません 投稿者:mama 投稿日:2002/02/16(Sat) 05:05:15

一個目のはスキンムーブさんと同じで102通りでした。僕は場合分けしました。
解いた後スキンムーブさんの解答みて驚きました。まさかあんな方法があるとは思いもしませんでした。

二個目は「同じにする時の確率」なら1じゃダメなのかな。
同じにするだけならいつでもできそうだし。
でもできるだけで本当にするかどうかは分からないからダメかな。それにできない人もいるし。
そもそも同じにするなら確率なんか考えないような・・・。

>はちみつさん
問題文間違ってませんか?もし僕がまちがってたらすいません。その確率も高い気が・・・。


[2565へのレス] Re: 順列がわかりません 投稿者:mama 投稿日:2002/02/16(Sat) 06:25:36

「同じになるときの確率」なら1/45になりました。でも確信はほとんどありません。どなたか本当の答えを教えて下さい。


[2565へのレス] Re: 順列がわかりません 投稿者:スキンムーブ 投稿日:2002/02/16(Sat) 12:12:10

もう一度解いてみたら僕も1/45になりました。
上の説明で○のところが1の場合33441の数字を取り出す確率は
6文字目が2と考えて1/6
そのうち条件を満たすのは上の説明より1/15
よって
1/6×1/15=1/90
○が2のときも同様だから
1/90+1/90=1/45


[2565へのレス] Re: 順列がわかりません 投稿者:はちみつ 投稿日:2002/02/18(Mon) 11:00:11

スレッド立ち上げた本人が見忘れてました。本当にすいません
あの問題は今年に成蹊大学法学部の入試問題です。
102通りは皆さんの解説で良くわかりました。ありがとうございます。
二番目の問題は問題用紙そのままに書くと
5文字を取り出して並べ、順列をつくるとき、その、順列が、前から読んでも後ろから読んでも同じものになる確立は口/口口

とありました


[2565へのレス] Re: 順列がわかりません 投稿者:mama 投稿日:2002/02/19(Tue) 07:57:03

解法書くの忘れてました。1234○と3344○の場合に分けて全体が何通りかを求めました。分子は少ないので数えました。分かると思いますが場合分けの基準は同じ文字の個数です。
問題文がそれなら答えは1/45で良いと思います。


[2564] 無題 投稿者:スキンムーブ 投稿日:2002/02/14(Thu) 12:26:45

いつもお世話になってます。
数列の問題でよく出てくるんですが(階差数列など)n≧2のときの式がn=1のときも成り立つのはなぜなんですか?

1|3,5|7,9,11|13,15,17,19|・・・
第n群の初項を求めよ
初項を見ていったら1,3,7,13・・・となっているので階差数列を利用して解く方法はだめなんですか?


[2564へのレス] Re: 無題 投稿者:さすらい 投稿日:2002/02/14(Thu) 16:53:57

>n≧2のときの式がn=1のときも成り立つ

それは偶然じゃないでしょうか。
成り立たないこともしばしばありますし。
問題製作者側が親切にそうしてくれている場合もあると思いますが、基本的に成り立たないと思って考えた方が間違えないと思います。

>1|3,5|7,9,11|13,15,17,19|・・・
第n群の初項を求めよ
初項を見ていったら1,3,7,13・・・となっているので階差数列を利用して解く方法はだめなんですか?

ちゃんと階差数列になっていることを証明してからなら階差数列として問題を解いて全くかまわないと思います。
ただ、「見ていったら階差数列」というものでは、説得力がありませんので、式を立てなければいけません。


[2564へのレス] Re: 無題 投稿者:スキンムーブ 投稿日:2002/02/14(Thu) 17:21:02

>>さすらいさん
階差数列であることを証明っていうのは
2,4,6・・・となっていると書けばいいだけですか?
前、学校の先生に聞いたことがあったんですがそれは推測にすぎないと言われたんですが。


[2564へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/14(Thu) 20:20:09

元の問題が
「1|3,5|7,9,11|13,15,17,19|・・・」
みたいなかたちじゃ、推測しかできないでしょう。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2564へのレス] Re: 無題 投稿者:さすらい 投稿日:2002/02/15(Fri) 09:52:00

なんでもいいと思いますが、
第n群にはそれぞれn項ずつ項があり、それぞれの項は差が2の等差数列になっているため、第n+1群の初項は第n群の初項の2n倍である。よって各群の初項の階差数列は2nとなっている。
とでも書けばいいんじゃないでしょうか。
これでも確かに、「第n群にはそれぞれn項ずつ項があり、それぞれの項は差が2の等差数列になっている」という推測を使っています。そのくらいは仕方が無いと思いますが。


[2564へのレス] 無題 投稿者:数学講師 投稿日:2002/02/17(Sun) 08:49:17

といっても大学生ですが一言。

1|3,5|7,9,11|13,15,17,19|・・・
と言った式を提示されたときは
元の数列 An=2n-1
群数列   Bm=m
と理解するのが一般的だと思います。
これを憶測と言われては数学自体が成り立ちません。

第n群の先頭の数を求める場合、n-1群までの項数の和ΣBmを求め
その数+1をAnに代入することで求めます。

ところで今回、第n群の初項は公差数列を公差数列で囲う形になるので
階差数列になるのがあたりまえです。
そしてその階差数列を証明することはこの問題を解くことです。
見た目で、とか憶測で、と言うのは数学では不正解です。
長くなりました。お役に立てれば光栄です。


[2564へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/17(Sun) 17:52:05

それもそうですね。

ただ、「1|3,5|7,9,11|13,15,17,19|・・・」などという書き方をされるのは、数列を習い初めの例題の類ですから、そう論理的な答案を作れなくても良さそうな気もしますが。

もちろん、出題される状況にもよりますし、単に数学の問題として考えるのならば、きちんと証明をつけるべきだとは思いますが。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2564へのレス] Re: 無題 投稿者:さすらい 投稿日:2002/02/18(Mon) 00:18:49

上に書いた自分のレスに誤りを見つけたので訂正します。
上から3行目「初項の2n倍」の部分は、差が2nということを言いたかったんです。2n倍じゃないですね。
すみません。


[2563] 無題 投稿者:スキンムーブ 投稿日:2002/02/12(Tue) 19:33:18

「pは任意の整数」と「pは整数」は同じですか?


[2563へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/12(Tue) 19:48:46

本来は違うんだけど、前者の意味で後者を使うことは多い。受験レベルでは同じといっても過言では無さそう。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2563へのレス] Re: 無題 投稿者:スキンムーブ 投稿日:2002/02/12(Tue) 21:56:43

本来は違うってどう違うんですか?


[2563へのレス] Re: 無題 投稿者:phonon 投稿日:2002/02/12(Tue) 23:51:24

厳密な定義は知らないのですが、数学で言う任意は英語のanyに対応するようです。数学科の講義を受けてたとき、頻繁にA(anyの頭文字)のひっくりかえった添え字を記号として用いてたのを覚えてます。英語のanyは、たくさんサンプルがあった時に、どれを選んでもかまわへんでってくらいのイメージです。
単に「〜は整数」と言った場合には、整数ではあってもそういったなんでもええから好きなように選べるという条件に制限がかかっているかもしれないわけです。任意である事を強調せねばならへんときは、「任意の」と書くんでしょう。

間違ってたらごめんなさいね。その時は、申し訳ないですがどなたか訂正お願いします。


[2563へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/13(Wed) 01:15:04

僕もあまり自信ないですが・・・

例えば、
∀x(x^2=1⇒x=1)
(任意のxに対して、x^2=1⇒x=1)
は偽ですが、

「∀x(〜)」は任意のxについて〜が成立する、
「∃x(〜)」は〜が成立するようなxが存在する、の意味です。

これに対して、「x^2=1⇒x=1」
の真偽は分かりませんよね。

「x^2=1⇒x=1」⇔「x^2≠1∨x=1」⇔「x≠−1」
ですから。

∀や∃が付いている変数を「束縛変数(bound variable)」
付いていない変数を「自由変数(free variable)」と言うそうです。
# よく知らないけど。

論理式というのは、(上で言うところの)自由変数に関する条件になります。

例えば「∀x∈R(ax^2+bx+c>0)」というのは、a,b,cに関する
条件ですよね。

pは整数であるということは「p∈Z」(Zは整数全体の集合)ということです
が、

「p∈Z」というのはpに関する条件で、「∀p∈Z(〜)」というのは〜内の
自由変数に関する条件と言うことになります。

「pは任意の整数」と書かれた場合は、通常、後に何らかのpを含む式があって、
その式は「∀p∈Z(〜)」という意味だ、ということです。

単に「pは整数」であるというのは、本来、単に「p∈Z」を意味するはずです。

しかし、「p∈Z⇒2p∈Z」って真なんでしょうか?
もちろん、「∀p(p∈Z⇒2p∈Z)」⇔「∀p∈Z(2p∈Z)」は真なん
ですが、単なる「p∈Z⇒2p∈Z」⇔「(¬(p∈Z)∨2p∈Z)はpに関
する条件であって、命題ではないと思うのですが(自分でも混乱してきた)。ま
あ、こういう意味で、「pは整数である」などと問題に書かれることはないと思
いますので、「pは任意の整数である」の意味に解釈すべきだと思います。

# 「¬〜」は〜の否定の意味です

あまり(というか全然)自信ないので、間違っていたらご指摘ください。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2563へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/13(Wed) 01:29:16

補足

Rは実数全体の集合のことです。

最後の方、自分でも何言っているかよく分からないような文章ですが、
例えば、
「pを整数とする。このときp(p+1)(p+2)は6の倍であることを示せ」
みたいな問題があるとき、

「∀p∈Z(p(p+1)(p+2)/6∈Z」
⇔「∀p(p∈Z⇒p(p+1)(p+2)/6∈Z」
の意味に解釈すべきだろう、と言う意味です。

「(p∈Z⇒p(p+1)(p+2)/6∈Z」の真偽は「分からない」のが正しいと思いますので。(自信ないけど)

# 長々と書いてすみません。しかも、自分でもよく分かっていないことを・・・(汗)

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2563へのレス] Re: 無題 投稿者:CIMAN 投稿日:2002/02/13(Wed) 14:57:36

ちょっと気になったのでレスします。
「任意のx」を簡単に言うと「あるx」であり、「∃x」を使います。elementが由来だったはずです。
一方、「全てのx」は、「∀x」をつかいます。anyがゆらいであっていたずです。


[2563へのレス] Re: 無題 投稿者:N.S 投稿日:2002/02/13(Wed) 17:57:41

∃はexist,∀はallの略と参考書に書いてあったんやけど、違うの?


[2563へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/13(Wed) 19:26:17

ん?
「任意のx」と「あるx」は違いますよ。
(上に内容には自信がないが、これは間違えないと思う)

論理式の日本語読みは以下のようなのが主流でしょう。

(論理式をαとして)

∀x(α)は
「任意のxについてαが成立」
「全てのxについてαが成立」などと言います。

(xが任意の自然数の場合は「x=1,2,3,・・・に対してαが成立」などと書かれることもあります)

∃x(α)は
「αが成立するようなxが存在する」
「あるxについてαが成立する」
「xが存在して、αが成立する」

(「xの方程式αは解を持つ」などと言うこともあります」

あとNSさんのいうように
「∃はexist,∀はallの略」だと思います。
∀xは「any x」や「for all x」などと読むこともあるらしいですが。

にしても、上の内容は、自分も自信がないので、誰か基礎論やったことある人、ツッコミお願いします。(汗)

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2563へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/14(Thu) 20:23:32

自己レス

> しかし、「p∈Z⇒2p∈Z」って真なんでしょうか?

こういうこと言い出すと、部分的な同値変形が出来なくなってしまう・・・

例えば「x=0⇔x^2=0」が真か偽か分からないと言うのはあまりに不便です。
やはり、僕の解釈が間違っているような・・・

でも、部分的な「x=0⇔x^2=0」というのは、「∀x∈R(x=0⇔x^2=0)」などとは違いますよねえ・・・よくわからん。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2563へのレス] Re: 無題 投稿者:Laurent 投稿日:2002/02/16(Sat) 00:06:12

一言いいでしょうか。

2つの条件p(x)とq(x)に対して、
     命題 「p(x) ⇒ q(x)」 が真であるのは、
”p(x)を成り立たせるすべてのxに対してq(x)が成り立つ”
ときだったはずです。


[2563へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/16(Sat) 07:48:41

うーん・・・ああ、そうか。

「∀x(p(x)⇒q(x))」が真なら「p(x)⇒q(x)」 も真として問題無さそうですね。

そうすると、「∀x(p(x)⇒q(x))」と「p(x)⇒q(x)」 は同じ事じゃないかと思ってしまったのですが、
「∀x(p(x)⇒q(x))」が偽でも「p(x)⇒q(x)」 も偽とは限らないんですね。

否定を取って、「∃x(p(x)⇒q(x))」が偽なら「p(x)⇒q(x)」 も偽となるということですか・・・

どうもありがとうございました。>Laurent
すっきりしました。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2562] 無題 投稿者:ワルモノ 投稿日:2002/02/12(Tue) 15:09:55

  質問なのですが、
 本に物体が動き出さないのは
 (摩擦力)<(最大静止摩擦力)となっていたのですが
 (摩擦力)=(最大静止摩擦力)でも、動かないと思うのですがどうなのでしょうか?


[2562へのレス] Re: 無題 投稿者:ワルモノひとし 投稿日:2002/02/12(Tue) 17:49:13

静止摩擦力は物体に働く外力に比例して大きくなってく。動き出すぎりぎりまで大きくしたときの静止摩擦力を最大静止摩擦力っていうんだけど、これって動摩擦力よりずっと大きくて、
(摩擦力)<(最大静止摩擦力)
ってふうになるんです。
(摩擦力)=(最大静止摩擦力)
の時って、加える外力を大きくしてく途中の段階だから、もちろん最大静止摩擦力を超えない。だから物体は動かないよ。
なんかわかりにくくてごめんす。


[2562へのレス] Re: 無題 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/12(Tue) 18:43:38

現実問題として、ぴったり「=」になることは無いのだから、そのような境界は気にしなくていいと思う。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2562へのレス] Re: 無題 投稿者:ワルモノ 投稿日:2002/02/15(Fri) 21:44:21

  分かりました、有り難うございます。
 ところで、又、分からないことが出来てしまいました。
 「名門の森」の電磁気48番の問題の、おまけの問題なのですが、解答ではモーメントのつり合いからFの値を求めているのですが、「=」になっていると円盤は回らないと思うのですが
どうなのでしょうか?


[2561] 断熱変化 投稿者:eco 投稿日:2002/02/12(Tue) 14:41:44

2000年の東大の問題に関してです。

断熱壁のシリンダーに気体が封じてあり、上から断熱板のピストンで機械的に上下振動させた後、断熱板を元の位置に戻す.この間に、気体がなされた仕事をW(>0)とする.
このあと、Wなどを使って、温度を求める問題です.

断熱圧縮の場合は気体は仕事されて温度が上がりますが、膨張の時は、逆に外部に仕事をして温度が下がります。結局、ピストン(断熱板)を元の位置に戻せば、W=0なのではないか、という思いから抜け出せません。

しかしこの問題では、機械的に速く上下振動をさせれば、「気体は仕事をされる」とあります。
これはなぜでしょうか。


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/12(Tue) 18:53:00

問題見てみましたが(第3問IV)、僕も分からない・・・(汗)

どなたか解説お願いします。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/12(Tue) 18:55:18

「ただし、断熱板はシリンダー内を滑らかに動くものとする」とありますから、摩擦熱ではないですね。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:START 投稿日:2002/02/13(Wed) 20:00:34

この問題では外部の気圧を無視しています。つまり、ピストンが膨張するときには、仕事の定義を考えれば、外部に仕事はしていません(圧力が0だから)。気体を圧縮しているときは中の気体の圧力に逆らって力を加えているため仕事をしているわけです。


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:さすらい 投稿日:2002/02/13(Wed) 22:16:45

いや、仕事とかの問題ではなく、この場合のポイントは「速く上下振動」のところだと思います。
普段断熱とか等温とか言っているのはそれはその変化があくまでも準静的なときに限るのであって、「速く」動かしてしまうと、その変化は非準静的になってしまい、非準静的変化の場合、気体の内部エネルギーの変化ΔU=Q+W (Wはされた仕事)のWの部分を与える式が具体的に書けない、と手元の参考書には載っているので、おそらく仕事をされていることになるのではないでしょうか。


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:Bugtimus 投稿日:2002/02/13(Wed) 23:08:20

ああ、なるほど。その線がありましたか・・・

その場合は、確かに仕事をされるかもしれませんね。されないかもしれませんが。

http://hccweb1.bai.ne.jp/~hck30401/btf/


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:eco 投稿日:2002/02/14(Thu) 17:51:00

Bugtimusさん、STARTさん、さすらいさん、
いろいろなご指摘、ありがとうございました。

これからもどうぞよろしくお願いいたします.


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:ぱん吉 投稿日:2002/02/14(Thu) 19:01:44

いつもタイミングがずれてすいませんが、コメントさせて下さい。さすらいさんのおっしゃっていることが本質だと思いますが、なぜ、気体になされる仕事がプラスになるかです。

もしマイナスになれば、最終的に気体の温度が下がって、仕事が外に取り出されることになります。
これは第2種永久機関といって、これは出来ないと言うのが
熱力学の第2法則です(その大元にあるのが有名なエントロピー増大の法則です)。

STARTさんの、外が真空だからというのはもちろん間違いです。中の気体のする(される)仕事は当然中の気体自身の状態だけで決まります。外がもし真空なら、仕事はピストンにつながれた外部の何かになされるだけのことです。

本題の過程は、速くピストンを出し入れするので、気体全体の圧力が均一になる”ひまがなく”、いわゆる断熱曲線にそった圧力がピストンにかからないということですね。
で、引き出す方が押し込むときよりピストンにかかる圧力が低いから、体積の1サイクルで気体が仕事をされるわけです。
何故引き出す方が圧力が低いのか、ミクロな説明は私はちょっと思いつかないのですが、マクロには上記の第2法則という強力な法則で説明できるというわけです(逆なら永久機関が出来てしまう)。


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:START 投稿日:2002/02/15(Fri) 18:19:51

<STARTさんの、外が真空だからというのはもちろん間違いです。中の気体のする(される)仕事は当然中の気体自身の状態だけで決まります。
この意見に対して反論なのですが、系が外にする仕事は系が外圧に抗して膨張することによります。つまり、気体が外にする仕事は(外圧)×(膨張した体積)であらわされます(内圧でなくて)。例えば、気体が真空中に非可逆的に拡散するときは外圧=0だから体積が増加しても気体は外に仕事をしません。(以上新物理入門の内容をまとめました)

引き出すときのほうが圧力が低い理由も「外部の気圧が無視してよいほど小さいことから、容器内部の気体にむらがあっても、(ピストンに内側からかかる圧力の平均)のほうが(外圧)より大きい」と考えることで説明がつくと思います。

どこか間違えがあればご指摘お願いします



[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:ぱん吉 投稿日:2002/02/15(Fri) 21:32:15

START さん
真空中への膨張の例、この場合は確かに仕事はしませんその通りなんですが、これは外が真空だからではないですね、
これは”壁もなにもないから”です。何も無いのだから仕事は出来ません。外が真空でも壁があれば気体はそれに仕事をします。
でも私も間違っていました。内部の気体の状態だけで気体のする仕事が決まるというのも良く考えたらウソでした。
気体の状態だけではなくて、”壁の速度にも”依存しますね。
(STARTさんのおかげで私も曖昧だった点がはっきりしました)
充分壁の速度が遅ければ、気体のする仕事はP△Vですが、
壁が外に向かっていたら、それより減ります。
なぜなら、圧力の原因は気体分子の衝突ですが、壁が逃げていく場合、気体が与える力積が、<2mpxですね。pxと書いたのは壁に垂直な気体分子の運動量成分です。壁が静止しているときはご存知のように2mpxです。

これで、膨張の時の方が圧力が小さくなるミクロな理由も説明できました。

ちなみに充分に速いピストンの速度とは何でしょうか?
最初の投稿で私が書いた、圧力が均一になるひまが無いほどの速さというのは、実は音速の程度の速度です(音とはまさに圧力変化が伝わる事ですから)。そしてそれはだいたい、気体の分子の熱運動の速度とも同程度です(理由は省略します)。
で、普通はそんなに早くピストンは動かせないので、圧力の不均一は、今問題にしている仕事の符号とは関係なさそうです。
もっと遅くても、上記のようにピストンが気体から逃げるか向かっていくかでの力積の違いはかならずありますから、こちらが本当の理由です。


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:eco 投稿日:2002/02/17(Sun) 19:54:49

ぱん吉 さん、ありがとうございました。

みなさんのおかげで、いろいろ深く理解することができました。
感謝申し上げます。


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:START 投稿日:2002/02/17(Sun) 21:17:33

しつこいようで恐縮ですが、僕の説明が下手で言いたいことがあまり理解されていなかったようです。混乱させているようで申し訳ないのですが最後に言いたいことを言わせてください。

まとめ
@、気体のされる仕事は内部の圧力に抗して行われるため、内部の圧力により決まる。
A、気体のする仕事は外部の圧力に抗して行われるため、外部の圧力により決まる。

@,Aの考えに基づき今回の問題を考察します。
まず、内部の圧力をP、ピストンの質量をm、断面積をSと置く。x座標を鉛直下向きにとる。これから、ピストンを押し下げて元に戻すサイクルを考えるが、このサイクルにおいて内部との熱のやり取りが行われないため、W=ΔUが常に成り立つ。

1、明らかにPS>mgである。
2、PS=mg+Fとなるように力を加えてhだけゆっくり押し下げる。(すばやく行っても結論に影響はないが簡単のため準静的変化とする。)
このときの仕事W=∫PSdx=∫(F+mg)dx=∫Fdx+mgh
3、この後F=0とすると、ピストンは自然に上昇し、もとの位置に戻る。当然これは準静的過程ではないがピストンがされた(気体がした)仕事はmghである。なぜならピストンの位置エネルギーは保存力であり、経路によらないからである。
以上より
気体がされた仕事∫Fdx+mgh
気体がした仕事 mgh
よって1サイクルで気体は∫fdxの仕事をされている。

熱力では外圧と内圧がつりあった状態での議論ばかりなのでつりあっていないものに関して誤解が生じやすいのではと思います。この議論に対して批判があれば承ります。


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:ぱん吉 投稿日:2002/02/19(Tue) 00:13:34

STARTさん
上に書かれている過程ですが、
元の位置に戻った時、体積が元に戻りますね、
そして、最初も最後も外力が無いので、圧力も元に戻ります(P=mg/S)。
ということは気体の状態は完全に元にもどるから内部エネルギーも元にもどります。
でも気体は仕事をされていて、熱的に遮断されているんですよね、内部エネルギーは増えないとおかしい。これは矛盾です。
具体的過程で考えているのはとても良いと思います。矛盾も具体的になるので考えをチェックしながら進めるからです。とにかくまず上の矛盾の原因を考えてみてください。


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:START 投稿日:2002/02/19(Tue) 22:31:08

お忙しいところ毎回丁寧な返事を頂きありがとうございます。本当に感謝しています。さて、上の矛盾点に関してですが、2000年の東大の問題を設定としていることが説明不足でした.(留め具がついているのでPS>mgでかまわない。圧力はもとに戻らない。)申し訳ありません。

「ぱん吉さんが気体分子運動論や熱力学第2法則を用いて解明したことを熱力学第1法則などの高校物理の内容を使って説明しようとしている」と僕は勝手に考えています。例えば、僕の説明の3の過程でピストンを上へ引っ張るとします。ぱん吉さんの考えを用いるとピストンが上へ逃げるので気体がする仕事は減ると結論できます。同様にボクの議論でも、気体がしていたmghの仕事の一部を外力が肩代わりしたと考えることで同じ結論が出ます。

毎回拙い文を読んでくださり、ありがとうございます。これからもご指導よろしくお願いします。


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:ぱん吉 投稿日:2002/02/20(Wed) 02:07:39

>留め具がついているのでPS>mgでかまわない。圧力はもとに戻らない。

だったらピストンの位置エネルギーを上げるだけでなく、その留め具(でつながれた物)にも仕事がされなければならないから、STARTさんの上の証明はやっぱりなりたちませんよね。

>ぱん吉さんが気体分子運動論や熱力学第2法則を用いて解明したことを熱力学第1法則などの高校物理の内容を使って説明しようとしている

しようとしてますが出来ていませんよね。だから納得するのは早すぎます(しつこさが足りません、しつこいのは私のほうですね)。なぜ説明できないかというと、それは多分不可能だからです。第1法則は、第2法則や分子運動論の代わりにはなりません。後者2つは深い関係にあり、分子運動論は高校でも少しやるから私の説明の分子の与える力積の部分は高校の範囲だと思います。

ただ、理解するということは知識だけのもんだいではありません。自分が納得するまで考える事が重要です。
今わからなかったら、”これはわからない”と頭のすみにメモして次に進んでも良いと思います。わかったような気になって考えるのをやめてしまうのが一番まずいと私は思います。


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:START 投稿日:2002/02/20(Wed) 20:06:09

レスありがとうございます
疑問点について、図なしで説明するのが難しいのですが、留め具はピストンの初期位置の上部についており、容器の壁に固定されていると想定しています(ピストンに対し直接なにかでつながれているのではありません)。これは単なるストッパーとしてのみ働き、ピストンの上限を決めているだけと考えてくれるといいと思います。留め具は固定されているので全く動かず従って仕事は0です。
(東大の問題を持っておられるでしょうか。持っていれば、あの容器の右側の下の留め具をはずした形と考えてもらえるのですが)


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:ぱん吉 投稿日:2002/02/21(Thu) 01:28:43

状況は良くわかりましたが、同じ事です。
ストッパーにぶつかるまでずっとPS>mgですから、
ピストンはその間に加速されて運動エネルギーも得ています。
ストッパーにぶつかって止まるとしたら(非弾性衝突ですから)そこで運動エネルギーが(ぶつかる音とか、熱の)エネルギーとなって失われます。
いずれにせよ、mg以上の仕事を気体はしなければならないわけです。


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:START 投稿日:2002/02/21(Thu) 19:44:43

自分の議論にかけていたものが運動エネルギーの増加であることにようやく気づきました。言われてみれば、準静的変化にする意味として、「気体の内部を一様にする」ということのほかに「運動エネルギーを増やさない」ということがあったんですよね。このことが入ってくると僕の証明は破綻です。結論としては、「気体内部の乱雑さなどの気体特有の性質が関わってくるため、熱力学第一法則では不足で第2法則が必要となる」といったかんじでしょうか。

一人でわかった気になっていることの怖さを知りました。長々と議論にお付き合いいただきありがとうございました。本当に感謝しています。これからもよろしくお願いします。

追伸
僕が使ったまとめ@Aは正しいのでしょうか。あれが違っていると本当にどうしようもないのですが。


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:START 投稿日:2002/02/21(Thu) 20:14:49

追伸2
まとめAの「外圧に抗して・・」のところに関して、結局、内圧との差はピストンの運動エネルギーに変わってしまうと考えるとやっぱり違う気がします。


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:ぱん吉 投稿日:2002/02/25(Mon) 00:31:41

気体がされる仕事もする仕事も、その気体の圧力(非平衡状態も含めれば、圧力だけでは表せない気体の一般的状態);Aと、ピストンの運動状態;Bだけで決まります。これは気体がピストンに衝突することで仕事のやりとりをするのだから当然です。
(外部の気体やつながれた物体などの状態からその仕事が計算できる事も勿論ありますが、上の文章のポイントはAとB”だけで”と言う部分です。他がどうあれA,Bで決まってしまうということです)

STARTさんは、自分で@Aという仮説をたてて、具体的な状況で説明しようとされた、これは良い事だと思います。結果として@A(特にA)は間違いでしたが、そんなことより自分で考えているというところが良いわけです。これは誰にでも出来る事では有りません。経験を積めば的中率は上がると思います。


[2561へのレス] Re: 断熱変化 投稿者:START 投稿日:2002/02/27(Wed) 21:34:57

レスありがとうございます。やっぱり間違ってましたか・・。しばらく落ち込んでいましたが、物理が好きな気持ちは変わらないのでこれからもがんばろうと思います。

今回のことでひとりよがりになってはいけないということと、納得するまで議論することの大切さを学んだような気がします。自分の間違いを正してくれる人がいて幸運でした。本当に感謝しています。