| [114] 思ったとおり・・・
投稿者：のぶりん 投稿日：2000/06/27(Tue) 22:07:30 |
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賛否両論、非難轟々ですね、あるとは思いました
ＤＩＲさんへ
私は大学教授でも塾講師でもありません
あくまで浪人生です
教科書レベルを超えないというのは、下の[１１１]を
見ていただければお分かりになると思いますが
前提として「越えなくても解けるはず」というだけです
勿論、一見すれば無理にみえるものもあります
だからこそ学生の選別に役に立つのです
京大などでは必ず教科書範囲内で問題が作られている
（と、[１１１]の講師は言っています）
また、国定教科書の大元である国立大では
教科書を越えるような出題をすれば問題が生じるでしょう
また、教科書レベルの事項をバラバラな知識として持っているならば
確かに「高校の範囲を越える」ように感じるかもしれません
冷静に考えれば、高校範囲を越える公式を利用せねば解けない
入試問題を見たことありますか？
これ以上長くなると、他の人の迷惑になりますので、
なにかまだ納得いかないことでもありましたら、
私に直接メールでも送って下さい |
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Re: 思ったとおり・・・ 投稿者：質問 - 2000/06/28(Wed) 16:07:22
ロピタルの定理は高校で習う平均値の定理を使って証明できる
から，使っても問題ないような気もするけど・・・
どうなんでしょう？
私の場合，記述のときは証明を書いてから使っています． |
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Re: 思ったとおり・・・ 投稿者：のぶりん - 2000/06/28(Wed) 22:43:07
確かに、証明はそれでいいんですが
ああ、もう誰も私が言いたいところを正確に
把握してくれる人はいないのか？
平均値の定理でも確かに証明出来ますが
丁寧さにかけます。実際ロピタルの定理では
f'(a)/g'(a)の部分でa=±∞でも成り立つ
重宝な（？）定理なのでその部分まで証明しなければ
なりません。これは現況の教科書の範囲を大幅に超えてい
いますよね？そこまで証明していますか？
出来るレベルにあるならすでに証明云々の話ではなく
受験数学の問題の本来の意味もきっと分かっていらっしゃる
でしょうから、私がとやかく必要もないし、東大、京大でも
９割りは軽く取れるはずです。
私が言いたいのは、高校生や私のような浪人生は大学側に
挑発的な態度を取るのではなく、素直に学力を提示して
あわよくば今年には受かって物理しようよ、ってことです。
無理なく無駄なくうかろうよって事です。
Ｐ・Ｓ 謝罪 微積分の面積に関する有名公式について
今日の京大数学の授業での雑談で先生が「京大の若い講師
（助教授or教授？）の訴えで、微積分の面積に関する有名公式
は、多めに見るという動きがあります」とおっしゃいました。
ただ「しかし、絶対に減点されない保証はないし、他の大学は
まったく分からないので避けるように。」とのこと。
答案では途中計算はある程度飛ばしてもいいので、計算用紙で
利用して解答用紙では澄まし顔 |
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Re: 思ったとおり・・・ 投稿者：のぶりん - 2000/06/28(Wed) 22:48:01
付け加え
Ｓ台では、ロピタルの定理はテキストに
紹介はしているが入試での使用を避けるよう
指導をしている（理由はもうわかるでしょう）
乙会もたしか紹介してないよね？（大学への数学では
見たこともない）大いなる実績を持つものを信頼してみては？ |
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Re: 思ったとおり・・・ 投稿者：magicmirror - 2000/06/29(Thu) 06:02:20
>乙会もたしか紹介してないよね？（大学への数学では
>見たこともない）大いなる実績を持つものを信頼してみては？
大数増刊「解法の探求｣「微積分基礎の極意｣には
載ってますが。 |
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Re: 思ったとおり・・・ 投稿者：猫背の狸 - 2000/06/29(Thu) 14:58:45 
↓のページによると，そのまま使うと減点する可能性があるようです．
http://www.ms.saga-u.ac.jp/~hibino/fulltime/qa97/qa15.tex.html
上のように考えている先生がいる以上，わざわざ使って減点されるより
普通に解いたほうが良いようですね．
追伸
>f'(a)/g'(a)の部分でa=±∞でも成り立つ
>重宝な（？）定理なのでその部分まで証明しなければ
>なりません。
その証明はそんなに難しくありません．
のぶりんさんの言っている部分も含めて，ロピタルの定理の証明は
高校レベルの知識で十分できます．
下のような問題が入試に出ても文句は言えないと思いますよ．
1.h(x),g(x)が微分可能で，h(a)=g(a)=0のとき，
lim_{x→a} h(x)/g(x) = lim_{x→a} h'(x)/g'(x)
が成立することを示せ．
2.h(x),g(x)が微分可能で，h(∞)=g(∞)=0のとき，
lim_{x→∞} h(x)/g(x) = lim_{x→∞} h'(x)/g'(x)
が成立することを示せ．
3.h(x),g(x)が微分可能で，h(a)=g(a)=∞のとき，
lim_{x→a} h(x)/g(x) = lim_{x→a} h'(x)/g'(x)
が成立することを示せ．
4.lim_{x→∞}x^(1/x)を求めよ．
時間があれば解いてみてください． |
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Re: 思ったとおり・・・ 投稿者：のぶりん - 2000/06/29(Thu) 22:31:16
管理人様
確かに証明それ自体は難しくないですね
ただ現在私の立場上「教科書範囲内」で話していたので
「難しい」と表現しただけです
教科書ではロルもコーシーも習ってないので
難しいと思うのですが・・・勘違いですか？
（Ｓ台テキストでは「高校の範囲をこえる」とあり、講師は
「難しい」というので、暗示がかかったのかな？）
magicmirror さんへ
載ってますが解答には一切使われていません
「微分積分基礎の極意」では「高度だが面白く知っておくと
トクな事項（ｐ１９）」の名目で、ｐ３３に「知っていると
答えの検討をつけたり検算の時に大変便利」と紹介されている
はずですが・・・
月刊に至っては紹介もされてもいない（少なくともここ２、３年）
細かいご指摘は有り難いですが、ここでの話のながれの上での意味を
くみ取って理解して下さっても良かったのでは？
（活字での表現は今後、厳密に、正確に厳しくチェックするように
しますので今回の表現ミスくらいは許してやって下さい） |
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証明について 投稿者：猫背の狸 - 2000/06/29(Thu) 23:15:26
＞教科書ではロルもコーシーも習ってないので
＞難しいと思うのですが・・・勘違いですか？
ロルの定理からコーシーの平均値の定理を導くのなら，
確かに高校レベルは超えています．
でも，下のように高校の教科書で使用が認められている
平均値の定理からコーシーの平均値の定理の形にすれば
問題ないと思います．
平均値の定理より，
{h(x)-h(a)} / x-a =h'(c)
{g(x)-g(a)} / x-a =g'(c) (a<c<x or x<c<a)
このとき，
{h(x)-h(a)} / {g(x)-g(a)} = h'(c)/g'(c) |
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Re: 思ったとおり・・・ 投稿者：野田 - 2000/06/30(Fri) 03:49:38
どうも、野田です。お邪魔させていただきます。
> 平均値の定理からコーシーの平均値の定理の形にすれば
> 問題ないと思います．
管理人さんの４つの問題を解くには、この「コーシーの平均値定理」を証明
する必要があるのでは？
で、「コーシーの平均値定理」自体の証明は、高度ではないですが、
かなりトリッキーなものではなかったでしょうか？
＃ここらへんの記憶と理解は曖昧。(^^;
となると、この問題はかなり骨を折るのではないでしょうか？
＃疑問ばかりになってしまって申し訳ないです。
で、このロピタルの定理、そんなに使用頻度は高いですか？
僕自身は、受験でこの定理を利用した覚えは無いのですが。 |
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＞野田さん 投稿者：猫背の狸 - 2000/06/30(Fri) 15:37:37
高校の教科書では平均値の定理は証明なしで使ってよいことに
なっているから，上の証明で問題ないと思ったのですが．
1.の解答として，次のようなものは高校レベルとは認められない
のでしょうか？
h(x),g(x)は微分可能で，h(a)=g(a)=0とする．
平均値の定理より，
{h(x)-h(a)} / x-a =h'(c)
{g(x)-g(a)} / x-a =g'(c) (a<c<x or x<c<a)
このとき，
{h(x)-h(a)} / {g(x)-g(a)} = h'(c)/g'(c)
⇔h(x)/g(x) = h'(c)/g'(c)
a<c<x,x<c<a のいずれの場合も，x→a のとき，c→aなので，
lim_{x→a}h(x)/g(x) =lim_{c→a} h'(c)/g'(c)
を得る．
よって，h(x),g(x)が微分可能で，h(a)=g(a)=0のとき，
lim_{x→a} h(x)/g(x) = lim_{x→a} h'(x)/g'(x)
が成立する．
＞で、このロピタルの定理、そんなに使用頻度は高いですか？
＞僕自身は、受験でこの定理を利用した覚えは無いのですが。
僕も受験で利用したことはありません．受験では，ロピタルの定理を
使わなければ解けない問題は出ないでしょう．
出るとすれば，上で僕が書いた問題みたいに誘導つきなのでは
ないでしょうか． |
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Re: 思ったとおり・・・ 投稿者：のぶりん - 2000/06/30(Fri) 22:34:05
ようようわかりゆくこと、はなはだし
（なるほどねー、わかりましたー）
さればとて、まなびゆかん
（それでは、頑張ってきまーす） |
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Re: 思ったとおり・・・ 投稿者：野田 - 2000/07/01(Sat) 01:35:48
> 1.の解答として，次のようなものは高校レベルとは認められない
> のでしょうか？
失礼しました。正しいですね。諸手を上げて認めます。(^^)
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